Prove que se
é LI e
é LD, então
é combinação linear de
.
Passo 1
O enunciado diz que
é linearmente independente e que, ao acrescentar
, o conjunto
fica linearmente dependente. O objetivo é mostrar que essa dependência força
a ser combinação linear de
. Vamos usar as definições de independência e dependência linear.
Passo 2
Por hipótese de dependência linear de
, existem escalares
, não todos nulos, tais que
Passo 3
Se
, então teríamos
com algum
, o que contradiz a independência linear de
. Logo, necessariamente
.
Passo 4
Como
, podemos isolar
:
Isso mostra que
é combinação linear de
.