Prove que se v1 ldots, vn é LI e v1, ldots, vn, v é LD, então v é combinação linear de v1, ldots, vn.

Passo 1

O enunciado diz que vec v1,dots,vec vn é linearmente independente e que, ao acrescentar vec v, o conjunto vec v1,dots,vec vn,vec v fica linearmente dependente. O objetivo é mostrar que essa dependência força vec v a ser combinação linear de vec v1,dots,vec vn. Vamos usar as definições de independência e dependência linear.

Passo 2

Por hipótese de dependência linear de vec v1,dots,vec vn,vec v, existem escalares a1,dots,an,a, não todos nulos, tais que
a1vec v1 + cdots + anvec vn + a,vec v = vec 0

Passo 3

Se a=0, então teríamos
a1vec v1 + cdots + anvec vn = vec 0
com algum aineq0, o que contradiz a independência linear de vec v1,dots,vec vn. Logo, necessariamente aneq0.

Passo 4

Como aneq0, podemos isolar vec v:
a,vec v = -l(a1vec v1 + cdots + anvec vnr) Longrightarrow vec v = -a1a,vec v1 - cdots - ana,vec vn
Isso mostra que vec v é combinação linear de vec v1,dots,vec vn.

Resposta

vec v = -a1a,vec v1 - cdots - ana,vec vn, logo vec v é combinação linear de vec v1,dots,vec vn.

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