(15%) Questão 4. Considere um retângulo inscrito num triângulo equilátero de lado a. Seja A a área desse retângulo.
(b) Encontre as dimensões do retângulo para as quais A é máxima.

Passo 1

Temos um triângulo equilátero de lado a e altura
H = raiz32a
Inscrevemos nele um retângulo cuja base mede x e altura mede y. O objetivo é achar x e y que maximizem a área do retângulo
A = x,y

Passo 2

Para relacionar x e y usamos semelhança de triângulos: ao subir até a altura y, a largura disponível do triângulo é proporcional a H-y. Assim
xa ;=;H-yH Longrightarrow x = al(1 - yHr)

Passo 3

Substituindo em A=x,y, obtemos
A(y) ;=;a,yl(1 - yHr) ;=;a,y ;-;aH,y^2

Passo 4

Para achar o ponto crítico, derivamos em relação a y e igualamos a zero:
A'(y) = al(1 - 2yHr) Longrightarrow 1 - 2yH = 0 Longrightarrow y = H2

Passo 5

Substituindo H=tfracraiz32a, vem
y = 12,raiz32a = raiz34a
E então
x = al(1 - yHr) = al(1 - 12r) = a2

Passo 6

Verificamos que
A''(y) = -2aH < 0,
logo y=H/2 é um ponto de máximo.

Resposta

A área do retângulo é máxima quando sua base vale tfraca2 e sua altura vale tfracraiz34a.

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