(15%) Questão 4. Considere um retângulo inscrito num triângulo equilátero de lado
. Seja
a área desse retângulo.
(b) Encontre as dimensões do retângulo para as quais
é máxima.
(b) Encontre as dimensões do retângulo para as quais
Passo 1
Temos um triângulo equilátero de lado
e altura
Inscrevemos nele um retângulo cuja base mede
e altura mede
. O objetivo é achar
e
que maximizem a área do retângulo
Passo 2
Para relacionar
e
usamos semelhança de triângulos: ao subir até a altura
, a largura disponível do triângulo é proporcional a
. Assim
Passo 3
Substituindo em
, obtemos
Passo 4
Para achar o ponto crítico, derivamos em relação a
e igualamos a zero:
Passo 5
Substituindo
, vem
E então
Passo 6
Verificamos que
logo
é um ponto de máximo.
Resposta
A área do retângulo é máxima quando sua base vale
e sua altura vale
.