Escreva o conjunto \Omega=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}: x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq r^{2}\right\} \mathrm{em} coordenadas esféricas.

Passo 1

O enunciado pede para descrever, em coordenadas esféricas, o conjunto
\Omega = \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid x^2 + y^2 + z^2 \le r^2\}.
O conteúdo envolvido é a mudança de variáveis do sistema cartesiano (x,y,z) para o sistema esférico (\rho,\theta,\varphi), e precisamos usar as fórmulas de transformação e os limites naturais dessas três variáveis para cobrir toda a bola de raio r.

Passo 2

Definimos as coordenadas esféricas pela relação entre (x,y,z) e (\rho,\theta,\varphi):
x = \rho \,\sin\varphi\cos\theta,\quad y = \rho \,\sin\varphi\sin\theta,\quad z = \rho \,\cos\varphi,
com as convenções de ângulos
\displaystyle 0 \le \rho < +\infty,
\displaystyle 0 \le \varphi \le \pi (ângulo polar a partir do eixo z) e
\displaystyle 0 \le \theta < 2\pi (ângulo azimutal no plano xy).

Passo 3

Na expressão de \Omega temos a condição
x^2 + y^2 + z^2 \le r^2.
Em coordenadas esféricas isso fica
\rho^2 = x^2 + y^2 + z^2 \le r^2,
ou seja
0 \le \rho \le r.

Passo 4

Como os ângulos \theta e \varphi continuam variando em seus domínios completos para gerar toda a bola, concluímos que em coordenadas esféricas
\Omega = \{(\rho,\theta,\varphi)\mid 0 \le \rho \le r,\;0 \le \varphi \le \pi,\;0 \le \theta < 2\pi\}.

Resposta

\Omega = \bigl\{(\rho,\theta,\varphi)\in\mathbb{R}^3 \mid 0 \le \rho \le r,\; 0 \le \varphi \le \pi,\; 0 \le \theta < 2\pi\bigr\},
com
\displaystyle x=\rho\sin\varphi\cos\theta,
\displaystyle y=\rho\sin\varphi\sin\theta,
\displaystyle z=\rho\cos\varphi.

Exercícios relacionados