Dentre as aplicações abaixo, verifique quais são lineares.
(g) F: R^3 R, F(x, y, z)=x+z

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a aplicação
Fcolon R^3toR, F(x,y,z)=x+z
é linear. Para isso, vamos usar a definição de aplicação linear:
  1. Aditividade: F(u+v)=F(u)+F(v).
  2. Homogeneidade: F(c,u)=c,F(u).

Passo 2

Sejam u=(x1,y1,z1) e v=(x2,y2,z2). Então
F(u+v) =F(x1+x2,,y1+y2,,z1+z2) =(x1+x2)+(z1+z2) =(x1+z1)+(x2+z2) =F(u)+F(v),
logo a aditividade está satisfeita.

Passo 3

Seja cinR. Para a homogeneidade, temos
F(c,u) =F(c,x1,,c,y1,,c,z1) =c,x1+c,z1 =c,(x1+z1) =c,F(u),
portanto a homogeneidade também vale.

Resposta

A aplicação F(x,y,z)=x+z é linear.

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