Ache a equação do lugar geométrico dos pontos P(x, y, z) do espaço tais que a distância de P ao ponto A(3,2,1) seja raiz2 vezes a distância de P ao plano x-1=0.

Passo 1

O enunciado pede o lugar geométrico dos pontos P(x,y,z) tais que a distância de P ao ponto A(3,2,1) seja raiz2 vezes a distância de P ao plano x-1=0.
Conteúdo: geometria analítica no espaço, fórmulas de distância ponto–ponto e ponto–plano.

Passo 2

Escrevendo a condição de distâncias, temos
dist(P,A)=raiz(x-3)^2+(y-2)^2+(z-1)^2e distl(P,plano x-1=0r)=l|x-1r|,
Logo a equação do lugar geométrico é
raiz(x-3)^2+(y-2)^2+(z-1)^2 ;=;raiz2,l|x-1r|,

Passo 3

Elevando ao quadrado para eliminar a raiz e o valor absoluto, obtemos
(x-3)^2+(y-2)^2+(z-1)^2 ;=;2,(x-1)^2,

Passo 4

Expandindo e organizando termos:
x^2-6x+9 ;+;y^2-4y+4;+;z^2-2z+1 ;=;2l(x^2-2x+1r)
Passando tudo para um lado e coletando:
x^2+y^2+z^2-6x-4y-2z+14 ;=;2x^2-4x+2 ;;Longrightarrow;; x^2-y^2-z^2+2x+4y+2z-12=0
Para ver melhor o tipo de superfície, completamos quadrados:
(x+1)^2-1 ;-;l(y-2r)^2+4;-;l(z-1r)^2+1;-;12=0 ;Longrightarrow; (x+1)^2-l(y-2r)^2-l(z-1r)^2=8,
ou seja
(x+1)^28-(y-2)^28-(z-1)^28=1,
que é um hiperbolóide de duas folhas deslocado no espaço.

Resposta

(x-3)^2+(y-2)^2+(z-1)^2=2,(x-1)^2,
ou equivalentemente
x^2-y^2-z^2+2x+4y+2z-12=0,
ou ainda
(x+1)^28-(y-2)^28-(z-1)^28=1

Exercícios relacionados