15
Sejam
as funções dadas por
(a) Encontre uma expressão analítica para a composta
.
Sejam
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui são duas funções,
e
, definidas de forma diferente dependendo do valor de
. Nosso objetivo é encontrar a função composta
, que basicamente significa aplicar
primeiro e depois
no resultado de
. Para isso, vamos precisar entender como cada função se comporta em diferentes intervalos de
.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada na função
:
Essa função tem duas expressões diferentes dependendo se
é maior que 2 ou não.
Passo 3
Agora, vamos entender o que acontece ao aplicar
em
. A função composta
significa que para cada valor de
, primeiro calculamos
e depois aplicamos
nesse resultado. Ou seja:
Então, precisamos verificar para quais
valores de
são maiores ou iguais a 0, e para quais são menores que 0, já que a função
também é definida por partes.
Passo 4
Vamos dividir em casos com base na definição de
:
Caso 1: Quando
:
Agora, vamos ver se
é maior ou igual a 0 ou menor que 0:
Como
já é sempre maior que -1, sempre usaremos a primeira parte de
:
Caso 2: Quando
:
Agora, verificamos se
é maior ou igual a 0 ou menor que 0:
Então, dividimos esse caso em dois subcasos:
-
Subcaso 2.1: Se
, então : -
Subcaso 2.2: Se
ou , então : Vamos expandir isso:Então:
Resposta
A expressão analítica para a composta
é dada por: