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Sejam f, g: R R as funções dadas por
f(x)=lll 4 x-3 & se & x >= 0 x^2-3 x+2 & se & x<0 e g(x)=lll x+1 & se & x>2 1-x^2 & se & x <= 2
(a) Encontre uma expressão analítica para a composta f circ g.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui são duas funções, e , definidas de forma diferente dependendo do valor de . Nosso objetivo é encontrar a função composta , que basicamente significa aplicar primeiro e depois no resultado de . Para isso, vamos precisar entender como cada função se comporta em diferentes intervalos de .

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na função g(x) = x + 1 & se x > 2 1 - x^2 & se x <= 2 :
Essa função tem duas expressões diferentes dependendo se é maior que 2 ou não.

Passo 3

Agora, vamos entender o que acontece ao aplicar (f circ g)(x) = f(g(x)) em . A função composta significa que para cada valor de , primeiro calculamos e depois aplicamos nesse resultado. Ou seja:
Então, precisamos verificar para quais valores de são maiores ou iguais a 0, e para quais são menores que 0, já que a função também é definida por partes.

Passo 4

Vamos dividir em casos com base na definição de g(x) = x + 1 :
Caso 1: Quando x + 1 >= 0 Rightarrow x >= -1 :
f(g(x)) = f(x + 1) = 4(x + 1) - 3 = 4x + 4 - 3 = 4x + 1
Agora, vamos ver se g(x) = 1 - x^2 é maior ou igual a 0 ou menor que 0:
1 - x^2 >= 0 Rightarrow x^2 <= 1 Rightarrow -1 <= x <= 1
Como f(g(x)) = f(1 - x^2) = 4(1 - x^2) - 3 = 4 - 4x^2 - 3 = 1 - 4x^2 já é sempre maior que -1, sempre usaremos a primeira parte de f(g(x)) = f(1 - x^2) = (1 - x^2)^2 - 3(1 - x^2) + 2 :
(1 - x^2)^2 = 1 - 2x^2 + x^4
Caso 2: Quando -3(1 - x^2) = -3 + 3x^2 :
f(g(x)) = 1 - 2x^2 + x^4 - 3 + 3x^2 + 2 = x^4 + x^2
Agora, verificamos se é maior ou igual a 0 ou menor que 0:
Então, dividimos esse caso em dois subcasos:
  • Subcaso 2.1: Se , então :
  • Subcaso 2.2: Se ou , então :
    Vamos expandir isso:
    Então:

Resposta

A expressão analítica para a composta (f circ g)(x) = 4x + 1 & se x > 2 1 - 4x^2 & se -1 <= x <= 2 x^4 + x^2 & se x < -1 é dada por:

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