Sejam
e
conjuntos e
uma função. Sejam também
e
. Mostre que:
(d)
(d)
Passo 1
Vamos resumir o enunciado: Temos uma função
e dois subconjuntos
e
de
. Precisamos mostrar que o pré-imagem da união
é igual à união dos pré-imagens de
e
. Para isso, vamos usar conceitos básicos de funções e operações com conjuntos, especialmente a definição de pré-imagem.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o pré-imagem de um conjunto. Para um conjunto
, o pré-imagem
é o conjunto de todos os elementos de
que a função
manda para algum elemento de
. Ou seja:
Passo 3
Queremos mostrar que:
Para provar que dois conjuntos são iguais, a gente mostra que cada um está contido no outro.
Passo 4
Primeiro, vamos mostrar que
. Ou seja, se um elemento está no pré-imagem da união, ele está na união dos pré-imagens.
Passo 5
Vamos pegar um elemento
que está em
. Pela definição de pré-imagem, isso significa que
. Então,
está em
ou em
.
Passo 6
Se
, então
. Se
, então
. Portanto, em qualquer caso,
está em
.
Passo 7
Assim, mostramos que se
, então
. Ou seja:
Passo 8
Agora, vamos provar o contrário: que
. Pegamos um elemento
que está na união dos pré-imagens.
Passo 9
Se
, então ou
ou
. Isso significa que
ou
.
Passo 10
Se
ou
, então
. Logo,
.
Passo 11
Dessa forma, mostramos que se
, então
. Ou seja:
Resposta
Portanto,
.