Sejam X e Y conjuntos e f: X -> Y uma função. Sejam também A1, A2 subseteq X e B1, B2 ⊆ Y. Mostre que:
(d) f^{-1}(B_{1} ∪ B_{2}) = f^{-1}(B_{1}) ∪ f^{-1}(B_{2})

Passo 1

Vamos resumir o enunciado: Temos uma função e dois subconjuntos e de . Precisamos mostrar que o pré-imagem da união é igual à união dos pré-imagens de e . Para isso, vamos usar conceitos básicos de funções e operações com conjuntos, especialmente a definição de pré-imagem.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o pré-imagem de um conjunto. Para um conjunto , o pré-imagem é o conjunto de todos os elementos de que a função manda para algum elemento de . Ou seja:

Passo 3

Queremos mostrar que:
Para provar que dois conjuntos são iguais, a gente mostra que cada um está contido no outro.

Passo 4

Primeiro, vamos mostrar que . Ou seja, se um elemento está no pré-imagem da união, ele está na união dos pré-imagens.

Passo 5

Vamos pegar um elemento que está em . Pela definição de pré-imagem, isso significa que . Então, está em ou em .

Passo 6

Se , então . Se , então . Portanto, em qualquer caso, está em .

Passo 7

Assim, mostramos que se , então . Ou seja:

Passo 8

Agora, vamos provar o contrário: que . Pegamos um elemento que está na união dos pré-imagens.

Passo 9

Se , então ou ou . Isso significa que ou .

Passo 10

Se ou , então . Logo, .

Passo 11

Dessa forma, mostramos que se , então . Ou seja:

Resposta

Portanto, .

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