- (15pts) Determine se
tem máximos e mínimos locais. Determine os máximos e mínimos de
no conjunto
.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: primeiro, achar extremais livres (máximos e mínimos locais) de
em
; depois, determinar os máximos e mínimos de
no conjunto compacto
O conteúdo envolve cálculo de derivadas parciais, análise do Hessiano para classificar pontos críticos e, na parte restrita, o método de multiplicadores de Lagrange.
Passo 2
Para os extremos livres calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero:
O sistema
dá o único candidato
. Agora avaliamos o Hessiano
cujo determinante é
. Isso indica ponto de sela, não há extremos locais.]
Passo 3
Como não há máximos nem mínimos locais em
, partimos para o problema restrito em
. Note que
é compacto e
é contínua, logo há máximos e mínimos globais que podem ocorrer no interior ou na fronteira. O ponto crítico livre
satisfaz
, logo ele está dentro de
e vale
Mas como já vimos é ponto de sela, não é extremo global em
.
Passo 4
Para os extremos sobre a fronteira usamos multiplicadores de Lagrange com
O sistema
dá
junto com
. Se
e
obtemos, eliminando
,
Substituindo em
resulta
Isso gera quatro pontos na fronteira.
Passo 5
Em cada candidato
. Calculando:
Os sinais iguais dão o valor positivo (máximos) e os sinais opostos dão o valor negativo (mínimos).
Resposta
Os únicos extremos de
em
são globais e ocorrem na fronteira:
Máximos globais, com
, em
Mínimos globais, com
, em
Não há máximos ou mínimos locais livres em
.