• (15pts) Determine se f(x, y)=x y+y tem máximos e mínimos locais. Determine os máximos e mínimos de f no conjunto A= (x, y) in R^2:(x+1)^2+3 y^2 <= 5.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: primeiro, achar extremais livres (máximos e mínimos locais) de f(x,y)=xy+y em R^2; depois, determinar os máximos e mínimos de f no conjunto compacto
A=(x,y)inR^2:,(x+1)^2+3y^2<=5
O conteúdo envolve cálculo de derivadas parciais, análise do Hessiano para classificar pontos críticos e, na parte restrita, o método de multiplicadores de Lagrange.

Passo 2

Para os extremos livres calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero:
partial fpartial x=y, partial fpartial y=x+1
O sistema
y=0, x+1=0
dá o único candidato (x,y)=(-1,0). Agora avaliamos o Hessiano
H= fxx&fxy[6pt] fyx&fyy = 0&1[6pt] 1&0 ,
cujo determinante é det H=-1<0. Isso indica ponto de sela, não há extremos locais.]

Passo 3

Como não há máximos nem mínimos locais em R^2, partimos para o problema restrito em A. Note que A é compacto e f é contínua, logo há máximos e mínimos globais que podem ocorrer no interior ou na fronteira. O ponto crítico livre (-1,0) satisfaz ((-1+1)^2+3cdot0^2)=0<=5, logo ele está dentro de A e vale
f(-1,0)=0
Mas como já vimos é ponto de sela, não é extremo global em A.

Passo 4

Para os extremos sobre a fronteira usamos multiplicadores de Lagrange com
g(x,y)=(x+1)^2+3y^2-5=0
O sistema nabla f=lambdanabla g
y=2lambda(x+1), x+1=6lambda y,
junto com (x+1)^2+3y^2=5. Se yneq0 e x+1neq0 obtemos, eliminando lambda,
(x+1)^2=3y^2
Substituindo em (x+1)^2+3y^2=5 resulta
6y^2=5Rightarrow y=pmraiztfrac56, x+1=pmraiztfrac52
Isso gera quatro pontos na fronteira.

Passo 5

Em cada candidato f(x,y)=y(x+1). Calculando:
y(x+1)=pmraiztfrac56;cdot;pmraiztfrac52 =pmraiztfrac2512 =pm5raiz36
Os sinais iguais dão o valor positivo (máximos) e os sinais opostos dão o valor negativo (mínimos).

Resposta

Os únicos extremos de f em A são globais e ocorrem na fronteira:
Máximos globais, com fmax=tfrac5raiz36, em
l(-1+raiztfrac52,,raiztfrac56r) e l(-1-raiztfrac52,,-raiztfrac56r)
Mínimos globais, com fmin=-tfrac5raiz36, em
l(-1-raiztfrac52,,raiztfrac56r) e l(-1+raiztfrac52,,-raiztfrac56r)
Não há máximos ou mínimos locais livres em R^2.

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