Seja
definida por
Calcule a integral
onde
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla\n\n\niint_R f,dA\n\nonde f\n\n\n(x,y)= x\n\n1+ (x2+y2)^{3/2}\n e R é o anel definido por 1 ≤ x2+y2 ≤ 4. O conteúdo envolvido é integral dupla em coordenadas polares, pois a região R é mais fácil de tratar nesse sistema.
Passo 2
Passamos para coordenadas polares usando x = r\cos\theta, y = r\sin\theta e dA = r,dr,d\theta. Além disso, (x2+y2)^{3/2} vira r^3. Assim, em polares temos:
\nf(x,y),dA = \frac{r\cos\theta}{1+r^3} ; (r,dr,d\theta) = \frac{r2\cos\theta}{1+r3},dr,d\theta\n\nCom isso, a integral fica
\n\int_{0}^{2\pi} \int_{1}^{2} \frac{r2\cos\theta}{1+r3},dr,d\theta.\n
\nf(x,y),dA = \frac{r\cos\theta}{1+r^3} ; (r,dr,d\theta) = \frac{r2\cos\theta}{1+r3},dr,d\theta\n\nCom isso, a integral fica
\n\int_{0}^{2\pi} \int_{1}^{2} \frac{r2\cos\theta}{1+r3},dr,d\theta.\n
Passo 3
Essa integral separa em produto de uma parte radial e uma parte angular. Escrevendo:
\n\n\int_{0}^{2\pi} \cos\theta,d\theta ;\times; \int_{1}^{2} \frac{r2}{1+r3},dr.
\n\n\int_{0}^{2\pi} \cos\theta,d\theta ;\times; \int_{1}^{2} \frac{r2}{1+r3},dr.
Passo 4
Mas temos
\n\int_{0}^{2\pi} \cos\theta,d\theta = 0, logo toda a integral dupla vale 0.
\n\int_{0}^{2\pi} \cos\theta,d\theta = 0, logo toda a integral dupla vale 0.
Resposta
0