Seja f: R^2 R definida por
f(x, y)=x1+(x^2+y^2)^3 / 2
Calcule a integral
integral duplaR f d A
onde R=(x, y) in R^2, 1 <= x^2+y^2 <= 4.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla\n\n\niint_R f,dA\n\nonde f\n\n\n(x,y)= x\n\n1+ (x2+y2)^{3/2}\n e R é o anel definido por 1 ≤ x2+y2 ≤ 4. O conteúdo envolvido é integral dupla em coordenadas polares, pois a região R é mais fácil de tratar nesse sistema.

Passo 2

Passamos para coordenadas polares usando x = r\cos\theta, y = r\sin\theta e dA = r,dr,d\theta. Além disso, (x2+y2)^{3/2} vira r^3. Assim, em polares temos:
\nf(x,y),dA = \frac{r\cos\theta}{1+r^3} ; (r,dr,d\theta) = \frac{r2\cos\theta}{1+r3},dr,d\theta\n\nCom isso, a integral fica
\n\int_{0}^{2\pi} \int_{1}^{2} \frac{r2\cos\theta}{1+r3},dr,d\theta.\n

Passo 3

Essa integral separa em produto de uma parte radial e uma parte angular. Escrevendo:
\n\n\int_{0}^{2\pi} \cos\theta,d\theta ;\times; \int_{1}^{2} \frac{r2}{1+r3},dr.

Passo 4

Mas temos
\n\int_{0}^{2\pi} \cos\theta,d\theta = 0, logo toda a integral dupla vale 0.

Resposta

0

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