Lembre do Teorema de Existência e Unicidade: Considere o problema de valor inicial
onde e são funções contínuas em um intervalo aberto I que contém o ponto , então existe uma única solução para o problema de valor inicial, definida para todo ].
Encontre o maior intervalo onde a solução do problema de valor inicial a seguir existe e é única, .
Passo 1
O enunciado pede para usar o Teorema de Existência e Unicidade em um problema de valor inicial de segunda ordem. Em geral, dado
se são contínuas num intervalo aberto que contém , então existe solução única em todo . Aqui o problema é
Queremos achar o maior intervalo aberto contendo em que as condições do teorema valem.
Passo 2
Para aplicar o teorema, escrevemos a EDO na forma padrão . Dividindo por (coeficiente de ), obtemos
Passo 3
As funções
p(t)=tt(t-3)=1t-3, q(t)=-(3+t)t(t-3)
são contínuas sempre que o denominador t(t-3) não se anula. Logo, há singularidades em t=0 e em t=3.
Passo 4
Como o ponto inicial é t0=1, precisamos de um intervalo aberto que contenha 1 mas não inclua 0 nem 3. O maior intervalo desse tipo é
(0,3)
Resposta
O maior intervalo onde existe e é única a solução do problema é (0,3).