Lembre do Teorema de Existência e Unicidade: Considere o problema de valor inicial
d^2 yd t^2+p(t) d yd t+q(t) y=f(t), y(t0)=y0, d yd t(t0)=z0
onde p, q e f são funções contínuas em um intervalo aberto I que contém o ponto t0, então existe uma única solução para o problema de valor inicial, y=phi(t) definida para todo t in I].
Encontre o maior intervalo onde a solução do problema de valor inicial a seguir existe e é única,
(t^2-3 t) y^prime prime+t y^prime-(3+t) y=0, y(1)=1, y^prime(1)=2.

Passo 1

O enunciado pede para usar o Teorema de Existência e Unicidade em um problema de valor inicial de segunda ordem. Em geral, dado
d^2ydt^2 + p(t),dydt + q(t),y = f(t), y(t0)=y0, y'(t0)=z0,
se p,,q,,f são contínuas num intervalo aberto I que contém t0, então existe solução única em todo I. Aqui o problema é
(t^2-3t),y'' + t,y' - (3+t),y = 0, y(1)=1, y'(1)=2
Queremos achar o maior intervalo aberto contendo t0=1 em que as condições do teorema valem.

Passo 2

Para aplicar o teorema, escrevemos a EDO na forma padrão y'' + p(t),y' + q(t),y = 0. Dividindo por t^2-3t (coeficiente de y''), obtemos
y'' + underbracett^2-3tp(t),y' + underbrace-(3+t)t^2-3tq(t),y = 0

Passo 3

As funções
p(t)=tt(t-3)=1t-3, q(t)=-(3+t)t(t-3)
são contínuas sempre que o denominador t(t-3) não se anula. Logo, há singularidades em t=0 e em t=3.

Passo 4

Como o ponto inicial é t0=1, precisamos de um intervalo aberto que contenha 1 mas não inclua 0 nem 3. O maior intervalo desse tipo é
(0,3)

Resposta

O maior intervalo onde existe e é única a solução do problema é (0,3).

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