[15pts] Resolva o P.V.I. abaixo. Não é necessário aqui aplicar o método de resolução da EDO, basta montar a solução geral depois que tiver resolvido a Equação característica associada a EDO
Passo 1
O enunciado nos pede resolver o problema de valor inicial (P.V.I.) para a EDO homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
com condições
O método consiste em achar primeiro a solução geral pelo polinômio característico e depois ajustar as constantes usando as condições iniciais.
Passo 2
Formamos a equação característica associada substituindo
, obtendo
Calculamos o discriminante:
Logo, há uma raiz dupla
.
Passo 3
Para raiz dupla
, a solução geral da EDO é
Aqui
e
são constantes a determinar pelas condições iniciais.
Passo 4
A condição
nos dá
Multiplicando ambos os lados por
, vem
Passo 5
Precisamos de
. Derivando
:
Em
:
Multiplicando por
, obtemos
Passo 6
Agora resolvemos o sistema linear para
Da primeira equação
Passo 7
Plugando
e
na solução geral, obtemos