[15pts] Resolva o P.V.I. abaixo. Não é necessário aqui aplicar o método de resolução da EDO, basta montar a solução geral depois que tiver resolvido a Equação característica associada a EDO
y^prime prime-10 y^prime+25 y=0 ; y(-1)=3, y^prime(-1)=2

Passo 1

O enunciado nos pede resolver o problema de valor inicial (P.V.I.) para a EDO homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' - 10y' + 25y = 0,
com condições
y(-1) = 3, y'(-1)=2
O método consiste em achar primeiro a solução geral pelo polinômio característico e depois ajustar as constantes usando as condições iniciais.

Passo 2

Formamos a equação característica associada substituindo ysim e^rx, obtendo
r^2 - 10r + 25 = 0
Calculamos o discriminante:
De<a = (-10)^2 - 4cdot1cdot25 = 100 - 100 = 0
Logo, há uma raiz dupla r=5.

Passo 3

Para raiz dupla r=5, a solução geral da EDO é
y(x) = (C1 + C2 x)e^5x
Aqui C1 e C2 são constantes a determinar pelas condições iniciais.

Passo 4

A condição y(-1)=3 nos dá
y(-1) = (C1 + C2(-1))e^5(-1) = (C1 - C2)e^-5 = 3
Multiplicando ambos os lados por e^5, vem
C1 - C2 = 3e^5

Passo 5

Precisamos de y'(x). Derivando y(x):
y'(x) = ddxl((C1 + C2 x)e^5xr) = C2 e^5x + (C1 + C2 x),5e^5x = e^5x(5C1 + C2 + 5C2 x)
Em x=-1:
y'(-1) = e^-5l(5C1 + C2 + 5C2(-1)r) = e^-5(5C1 - 4C2) = 2
Multiplicando por e^5, obtemos
5C1 - 4C2 = 2e^5

Passo 6

Agora resolvemos o sistema linear para
Da primeira equação

Passo 7

Plugando C1 e C2 na solução geral, obtemos
y(x) = l(-10e^5 - 13e^5 xr)e^5x = -(10 + 13x)e^5(x+1)

Resposta

y(x) = -(10 + 13x)e^5(x+1)

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