Resolva as equaçÔes diferenciais que admitem o fator integrante das formas μ=μ(x) ou μ=μ(y) :
(x+y^2) d x-2 x y d y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
l(x+y^2r),dx ;-;2xy,dy ;=;0
usando fator integrante do tipo mu=mu(x) ou mu=mu(y). O conteúdo aqui é reconhecer que a equação não é exata e testar um fator integrante que dependa só de x ou só de y.

Passo 2

Escrevemos
M(x,y)=x+y^2, N(x,y)=-2xy,
e calculamos
partial Mpartial y=2y, partial Npartial x=-2y
Como partial M/partial yneqpartial N/partial x, a equação não é exata.

Passo 3

Para tentar mu=mu(x) usamos o teste
partial Mpartial y-partial Npartial xN =2y-(-2y)-2xy =4y-2xy=-2x,
que depende apenas de x. Logo existe fator integrante mu(x).

Passo 4

Calculamos
mu(x)=exp!l(integral -tfrac2x,dxr) =expl(-2ln|x|r) =|x|^-2
Para simplificar, tomamos mu(x)=x^-2 (absorvendo sinal em C).

Passo 5

Multiplicando a equação original por x^-2 obtemos
l(tfracx+y^2x^2r),dx ;-;2y,tfrac1x,dy =0
Chamando
widetilde M=1x+y^2x^2, widetilde N=-2yx,
verificamos
partialwidetilde M/partial y=2y/x^2 e
partialwidetilde N/partial x=2y/x^2,
logo a equação é exata.

Passo 6

Procuramos uma função potencial Psi(x,y) tal que
partialPsipartial x =1x+y^2x^2
Fazendo a antiderivada em x, tratando y como constante,
Psi(x,y) =integrall(1x+y^2x^2r)dx =ln|x|-y^2x+h(y)
Derivando agora em y e igualando a widetilde N:
partialPsipartial y =-2yx+h'(y) stackrel!=-2yx,
deduzimos h'(y)=0, ou seja h constante.

Passo 7

A solução implícita fica
Psi(x,y)=ln|x|-y^2x=C,
com C constante arbitrária.

Resposta

ln|x|-y^2x=C

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