Calcule o quociente e o resto da divisão de:
p(x)=2 x^3-3 x^2+x+2 por h(x)=2 x-1

Passo 1

Resumindo o enunciado, temos o polinômio p(x)=2x^3-3x^2+x+2 e queremos dividi-lo por h(x)=2x-1. O conteúdo aqui é divisão de polinômios com divisor de primeiro grau, o que nos leva a encontrar um quociente q(x) e um resto constante r tais que
p(x)=q(x),h(x)+r

Passo 2

Para executar a divisão longa, dividimos o termo de maior grau de p(x) pelo termo de maior grau de h(x): de 2x^3 por 2x vem x^2. Multiplicamos h(x) por x^2,
x^2,(2x-1)=2x^3 - x^2,
e subtraímos de p(x), obtendo
(2x^3-3x^2)-(2x^3 - x^2)=-2x^2,
mais os termos que já haviam sido trazidos, resultando em -2x^2 + x + 2.

Passo 3

Repetimos o processo com -2x^2 + x + 2. Dividindo -2x^2 por 2x achamos -x. Multiplicando:
(-x),(2x-1)=-2x^2 + x,
e subtraindo de -2x^2 + x + 2 temos resto zero para os termos em x e sobra apenas o termo constante 2. Como o grau do que resta ( 0) é menor que o grau de h(x) ( 1), a divisão se encerra.

Passo 4

O quociente encontrado é
q(x)=x^2 - x,
e o resto é o valor constante
r=2
Podemos ainda verificar pelo Teorema do Resto que, como a raiz de h(x) é x=tfrac12, temos r=p(tfrac12)=2, conferindo o resultado.

Resposta

O quociente é x^2 - x e o resto é 2.

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