Resolva as equaçÔes diferenciais que admitem o fator integrante das formas μ=μ(x) ou μ=μ(y) :
y(1+x y) d x-x d y=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
y(1+xy),dx ;-; x,dy ;=; 0
Estamos diante de um caso em que devemos verificar se ela é exata ou admitirá um fator integrante do tipo mu(x) ou mu(y).

Passo 2

Escrevemos
M(x,y)=y(1+xy), N(x,y)=-x
Calculamos
partial Mpartial y=1+2xy, partial Npartial x=-1
Como 1+2xyneq -1, a equação não é exata.

Passo 3

Testamos fator integrante em x:
partial M/partial y-partial N/partial xN =(1+2xy)-(-1)-x =-2(1+xy)x,
que depende de y. Logo, não serve.
Testamos fator integrante em y:
partial N/partial x-partial M/partial yM =-1-(1+2xy)y(1+xy) =-2(1+xy)y(1+xy) =-2y,
que é função só de y. Portanto existe mu(y).

Passo 4

Determinamos mu(y) resolvendo
dmumu=-2y,dy Longrightarrow mu(y)=y^-2
Multiplicando a equação original por y^-2 fica
l(tfrac1+xyyr)dx ;-;xy^2,dy=0

Passo 5

Agora é exata, com
tilde M(x,y)=1y+x, tilde N(x,y)=-xy^2
Buscamos psi tal que
partialpsipartial x=1y+x, partialpsipartial y=-xy^2
Integrando em x:
psi(x,y)=xy+x^22+h(y)
Derivando em y e igualando a -x/y^2 mostra h'(y)=0.

Passo 6

A solução geral implícita é
psi(x,y)=xy+x^22=C

Resposta

xy+x^22=C

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