Calcule o quociente e o resto da divisão de:
p(x)=x^2-2 x+1 por h(x)=3 x+1

Passo 1

O enunciado nos dá o polinômio p(x)=x^2-2x+1 e o divisor h(x)=3x+1, e pede o quociente q(x) e o resto r(x) na divisão de p por h. Vamos usar o algoritmo da divisão de polinômios, que garante
p(x)=h(x),q(x)+r(x)
com deg r<deg h.

Passo 2

Primeiro, dividimos o termo principal de p pelo termo principal de h:
x^23x=tfrac13x
Esse é o primeiro termo de q(x). Multiplicando h(x) por tfrac13x e subtraindo de p(x), temos
tfrac13x,(3x+1)=x^2+tfrac13x,
(x^2-2x+1)-l(x^2+tfrac13xr)=-tfrac73x+1

Passo 3

Agora dividimos o termo principal do polinômio residual pelo termo principal de h:
-tfrac73x3x=-tfrac79
Esse é o segundo termo de q(x). Multiplicando h(x) por -tfrac79 e subtraindo do residual, obtemos
-tfrac79,(3x+1)=-tfrac73x-tfrac79,
l(-tfrac73x+1r)-l(-tfrac73x-tfrac79r)=1+tfrac79=tfrac169
Como tfrac169 é de grau menor que deg h=1, esse é o resto.

Resposta

q(x)=tfrac13x-tfrac79, r(x)=tfrac169

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