1. [15pts] Resolva o P.V.I. abaixo. Não é necessário aqui aplicar o método de resolução da EDO, basta montar a solução geral depois que tiver resolvido a Equação característica associada a EDO
y^prime prime-12 y^prime+36 y=0 ; y(-1)=4, y^prime(-1)=2

Passo 1

O enunciado nos dá o problema de valor inicial
y''-12y'+36y=0, y(-1)=4, y'(-1)=2
Trata-se de uma EDO linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos usar o método da equação característica, obter a solução geral e depois aplicar as condições iniciais para encontrar as constantes.

Passo 2

Escrevemos a equação característica associada à EDO substituindo ymapsto e^rx:
r^2 -12r +36 = 0
Resolvendo, notamos que o discriminante é zero e a raiz é dupla:
r = 122 = 6

Passo 3

Como a raiz r=6 é dupla, a solução geral da EDO é
y(x) = l(C1 + C2 xr)e^6x,
onde C1 e C2 são constantes a determinar pelas condições iniciais.

Passo 4

Vamos calcular a derivada de y(x):
y'(x) = ddxl[(C1 + C2 x)e^6xr] = l(C2 + 6(C1 + C2 x)r)e^6x = l(6C1 + C2(6x+1)r)e^6x
Agora aplicamos x=-1:
y(-1) = (C1 - C2)e^-6 = 4 Longrightarrow C1 - C2 = 4e^6,
y'(-1) = l(6C1 -5C2r)e^-6 = 2 Longrightarrow 6C1 -5C2 = 2e^6

Passo 5

Temos o sistema para C1,C2:
C1 - C2 = 4e^6, 6C1 -5C2 = 2e^6
Multiplicando a primeira equação por 5 e subtraindo da segunda:
6C1 -5C2 - l(5C1 -5C2r) = 2e^6 - 20e^6 Longrightarrow C1 = -18e^6
Então
C2 = C1 - 4e^6 = -18e^6 -4e^6 = -22e^6

Passo 6

Substituindo C1 e C2 na solução geral:
y(x) = l(-18e^6 -22e^6 xr)e^6x = -l(18 +22xr),e^6(x+1)

Resposta

y(x) = -l(18 + 22xr),e^6(x+1)

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