[15pts] Resolva o P.V.I. abaixo. Não é necessário aqui aplicar o método de resolução da EDO, basta montar a solução geral depois que tiver resolvido a Equação característica associada a EDO
Passo 1
O enunciado nos dá o problema de valor inicial
Trata-se de uma EDO linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos usar o método da equação característica, obter a solução geral e depois aplicar as condições iniciais para encontrar as constantes.
Passo 2
Escrevemos a equação característica associada à EDO substituindo :
Resolvendo, notamos que o discriminante é zero e a raiz é dupla:
Passo 3
Como a raiz é dupla, a solução geral da EDO é
onde e são constantes a determinar pelas condições iniciais.
Passo 4
Vamos calcular a derivada de :
Agora aplicamos :
Passo 5
Temos o sistema para :
Multiplicando a primeira equação por 5 e subtraindo da segunda: