Coordenadas esféricas são definidas pelas transformações
x(r, theta, phi) & =r sin theta cos phi y(r, theta, phi) & =r sin theta sin phi z(r, theta, phi) & =r cos theta, r in[0, infty), theta in(0, pi), phi in[0,2 pi]
(a) Defina os versores
(\hat{r}, \hat{\theta}) e
(\hat{\varphi}) como aqueles que apontam nas direções de crescimento das respectivas variáveis. (Tais versores são os vetores são
(\overrightarrow{\mathbf{e}}{r}=\frac{\partial \overrightarrow{\mathbf{r}}}{\partial r}, \overrightarrow{\mathbf{e}}{\theta}=\frac{\partial \overrightarrow{\mathbf{r}}}{\partial \theta}, \overrightarrow{\mathbf{e}}_{\varphi}=\frac{\partial \overrightarrow{\mathbf{r}}}{\partial \varphi}) normalizados.)
(b) Calcule o jacobiano e o elemento de volume d V nessas coordenadas.
(c) Calcule as transformações inversas r=r(x, y, z), theta=theta(x, y, z) e phi=phi(x, y, z).
(d) Calcule a métrica em coordenadas esféricas. A métrica é ortogonal?
(e) Calcule os fatores de escala hu, hv e htheta.
(f) Calcule o gradiente, o divergente, o rotacional e o laplaciano nessas coordenadas.
(g) Tal sistema de coordenadas é dextrógiro ou levógiro?

Passo 1

O enunciado apresenta as coordenadas esféricas definidas por
x &= rsinthetacosphi, y &= rsinthetasinphi, z &= rcostheta,
com rin[0,infty), thetain(0,pi) e phiin[0,2pi).
Precisamos:
– (a) obter os versores hat r,hattheta,hatphi a partir de partialvec r/partial u normalizado;
– (b) calcular o jacobiano e o elemento de volume dV;
– (c) inverter as transformações para r(x,y,z), theta(x,y,z), phi(x,y,z);
– (d) determinar a métrica ds^2 e verificar se é ortogonal;
– (e) extrair os fatores de escala hr,htheta,hphi;
– (f) escrever gradiente, divergente, rotacional e laplaciano;
– (g) identificar se o sistema é dextrógiro ou levógiro.

Passo 2

Para os versores, partimos de vec r = rsinthetacosphi,hatimath + rsinthetasinphi,hatjmath + rcostheta,hat k.
overrightarrow er=partialvec rpartial r=sinthetacosphi,hatimath+sinthetasinphi,hatjmath+costheta,hat k, que já tem norma 1, logo
hat r=sinthetacosphi,hatimath+sinthetasinphi,hatjmath+costheta,hat k
overrightarrow etheta=partialvec rpartialtheta=rl(costhetacosphi,hatimath+costhetasinphi,hatjmath-sintheta,hat kr), com norma r, então
hattheta=costhetacosphi,hatimath+costhetasinphi,hatjmath-sintheta,hat k
overrightarrow ephi=partialvec rpartialphi=rsinthetal(-sinphi,hatimath+cosphi,hatjmathr), com norma rsintheta, daí
hatphi=-sinphi,hatimath+cosphi,hatjmath

Passo 3

O jacobiano J é o determinante da matriz partial(x,y,z)/partial(r,theta,phi). Calcula-se direto que
J=r^2sintheta
Logo o elemento de volume é
dV=J,dr,dtheta,dphi = r^2sintheta,dr,dtheta,dphi

Passo 4

Invertemos as fórmulas:
r=raizx^2+y^2+z^2, theta=arccos!l(zraizx^2+y^2+z^2r), phi=arctan!l(yxr)

Passo 5

O elemento de comprimento ao quadrado é
ds^2 = dr^2 + r^2,dtheta^2 + r^2sin^2theta,dphi^2
A métrica é diagonal (nenhuma componente cruzada), logo ortogonal.

Passo 6

Os fatores de escala são as raízes dos coeficientes de d ui^2:
hr=1, htheta=r, hphi=rsintheta

Passo 7

Usando os fatores de escala, obtém-se:
nabla f = hat r,partial fpartial r + hattheta,1rpartial fpartialtheta + hatphi,1rsinthetapartial fpartialphi,
nablacdotvec A = 1r^2partial (r^2 Ar)partial r + 1rsinthetapartial(sintheta,Atheta)partialtheta + 1rsinthetapartial Aphipartialphi,
nablatimesvec A = hat r,1rsinthetal[partialpartialtheta(sintheta,Aphi) -partial Athetapartialphir] + hattheta,1rl[1sinthetapartial Arpartialphi -partialpartial r(r Aphi)r] + hatphi,1rl[partialpartial r(r Atheta) -partial Arpartialthetar],
nabla^2 f = 1r^2partialpartial r!l(r^2partial fpartial rr) + 1r^2sinthetapartialpartialtheta!l(sintheta, partial fpartialthetar) + 1r^2sin^2thetapartial^2 fpartialphi^2

Passo 8

O tripé (hat r,hattheta,hatphi) segue o produto vetorial
hat rtimeshattheta=hatphi, portanto é um sistema dextrógiro.

Resposta

(a)
r = sintheta cosphi , imath + sintheta sinphi , jmath + costheta , k,
theta = costheta cosphi , imath + costheta sinphi , jmath - sintheta , k,
phi = -sinphi , imath + cosphi , jmath.
(b)
J = r^2 sintheta, dV = r^2 sintheta , dr , dtheta , dphi.
(c)
r = raizx^2 + y^2 + z^2, theta = arccos(z / r), phi = arctan(y / x).
(d)
ds^2 = dr^2 + r^2 dtheta^2 + r^2 sin^2theta , dphi^2 , métrica diagonal implies ortogonal.
(e)
hr = 1, htheta = r, hphi = r sintheta.
(f)
nabla f, nabla cdot A, nabla times A e nabla^2 f conforme expressões do passo 7.
(g)
O sistema é dextrógiro.

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