Coordenadas esféricas são definidas pelas transformações
(a) Defina os versores
(\hat{r}, \hat{\theta}) e
(\hat{\varphi}) como aqueles que apontam nas direções de crescimento das respectivas variáveis. (Tais versores são os vetores são
(\overrightarrow{\mathbf{e}}{r}=\frac{\partial \overrightarrow{\mathbf{r}}}{\partial r}, \overrightarrow{\mathbf{e}}{\theta}=\frac{\partial \overrightarrow{\mathbf{r}}}{\partial \theta}, \overrightarrow{\mathbf{e}}_{\varphi}=\frac{\partial \overrightarrow{\mathbf{r}}}{\partial \varphi}) normalizados.)
(b) Calcule o jacobiano e o elemento de volume
nessas coordenadas.
(c) Calcule as transformações inversas
e
.
(d) Calcule a métrica em coordenadas esféricas. A métrica é ortogonal?
(e) Calcule os fatores de escala
e
.
(f) Calcule o gradiente, o divergente, o rotacional e o laplaciano nessas coordenadas.
(g) Tal sistema de coordenadas é dextrógiro ou levógiro?
(\hat{r}, \hat{\theta}) e
(\hat{\varphi}) como aqueles que apontam nas direções de crescimento das respectivas variáveis. (Tais versores são os vetores são
(\overrightarrow{\mathbf{e}}{r}=\frac{\partial \overrightarrow{\mathbf{r}}}{\partial r}, \overrightarrow{\mathbf{e}}{\theta}=\frac{\partial \overrightarrow{\mathbf{r}}}{\partial \theta}, \overrightarrow{\mathbf{e}}_{\varphi}=\frac{\partial \overrightarrow{\mathbf{r}}}{\partial \varphi}) normalizados.)
(b) Calcule o jacobiano e o elemento de volume
(c) Calcule as transformações inversas
(d) Calcule a métrica em coordenadas esféricas. A métrica é ortogonal?
(e) Calcule os fatores de escala
(f) Calcule o gradiente, o divergente, o rotacional e o laplaciano nessas coordenadas.
(g) Tal sistema de coordenadas é dextrógiro ou levógiro?
Passo 1
O enunciado apresenta as coordenadas esféricas definidas por
com
,
e
.
Precisamos:
– (a) obter os versores a partir de
normalizado;
– (b) calcular o jacobiano e o elemento de volume ;
– (c) inverter as transformações para ,
,
;
– (d) determinar a métrica e verificar se é ortogonal;
– (e) extrair os fatores de escala ;
– (f) escrever gradiente, divergente, rotacional e laplaciano;
– (g) identificar se o sistema é dextrógiro ou levógiro.
Precisamos:
– (a) obter os versores
– (b) calcular o jacobiano e o elemento de volume
– (c) inverter as transformações para
– (d) determinar a métrica
– (e) extrair os fatores de escala
– (f) escrever gradiente, divergente, rotacional e laplaciano;
– (g) identificar se o sistema é dextrógiro ou levógiro.
Passo 2
Para os versores, partimos de
.
, que já tem norma
, logo
Passo 3
O jacobiano
é o determinante da matriz
. Calcula-se direto que
Logo o elemento de volume é
Passo 4
Invertemos as fórmulas:
Passo 5
O elemento de comprimento ao quadrado é
A métrica é diagonal (nenhuma componente cruzada), logo ortogonal.
Passo 6
Os fatores de escala são as raízes dos coeficientes de
:
Passo 7
Usando os fatores de escala, obtém-se:
Passo 8
O tripé
segue o produto vetorial
, portanto é um sistema dextrógiro.
Resposta
(a)
,
,
.
(b)
,
.
(c)
,
,
.
(d)
(e)
,
,
.
(f)
,
,
e
conforme expressões do passo
.
(g)
O sistema é dextrógiro.
O sistema é dextrógiro.