Resolva o problema de valor inicial:
y^prime=y+1x ; y=0 quando x=1

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
y' = y+1x, y(1)=0
Este é um EDO de primeira ordem linear. Vamos colocá-la na forma padrão y' + P(x),y = Q(x) e usar fator integrante.

Passo 2

Reescrevendo em forma padrão:
y' - 1x,y = 1x
Aqui P(x) = -tfrac1x e Q(x)=tfrac1x. O fator integrante é
mu(x) = expl(integral P(x),dxr) = expl(-integral 1x,dxr) = exp(-ln|x|) = 1x

Passo 3

Multiplicando a equação por mu(x)=1/x obtemos
1xy' - 1x^2y = 1x^2,
que é exatamente
ddxl(yxr) = 1x^2
Agora integramos ambos os lados:
yx = integral 1x^2,dx = -1x + C

Passo 4

Isolando y temos
y = -1 + C,x
Usando a condição inicial y(1)=0
0 = -1 + Ccdot1 Longrightarrow C = 1
Logo a solução buscada é
y = x - 1

Resposta

A solução do problema de valor inicial é
y(x) = x - 1

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