Verifique se os limites existem:
(17)
lim (x, y) (0,0) 2 xraizx^2+y^2

Passo 1

O enunciado pede para verificar se
lim(x,y)to(0,0) 2xraizx^2+y^2
existe. O conteúdo é limite de função de duas variáveis, e uma forma eficiente de checar existência é usar coordenadas polares ou testar diferentes trajetórias.

Passo 2

Fazendo a troca para coordenadas polares, ou seja
x = rcostheta, y = rsintheta,
onde r>=0 e theta é o ângulo, temos
raizx^2+y^2 = raizr^2 = r
e portanto
2xraizx^2+y^2 = 2(rcostheta)r = 2costheta
Essa expressão não depende de r, apenas de theta.

Passo 3

Como o valor 2costheta varia com a direção theta, o limite depende do caminho de aproximação. Por exemplo:
– Se theta=0 (eixo x), o limite vale 2cos0=2.
– Se theta=pi/2 (eixo y), o limite vale 2cos(pi/2)=0.
Esses resultados distintos mostram que não há um único valor limite.

Resposta

O limite não existe.

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