Determine, nas questões abaixo, qual a região onde a função é contínua. Justifique a resposta.
Passo 1
O enunciado pede determinar a região de continuidade de três funções de duas variáveis. Vamos usar que polinômios e a função são contínuos em toda parte, e que o quociente de duas funções contínuas é contínuo sempre que o denominador não zera. Para a função definida por partes, também vamos verificar cada ramo e a continuidade no ponto de junção.
Passo 2
Para
o numerador e o denominador são polinômios, logo contínuos em . O quociente será contínuo sempre que
isto é, em todos os pontos de exceto .
Passo 3
Para
temos que é polinomial (contínua) e é contínua, de modo que o numerador e o denominador são contínuos. Assim o quociente é contínuo sempre que
ou seja, em .
Passo 4
Considere
Para (x,y)neq(0,0): o numerador xy e o denominador sin(xy) são funções contínuas. O quociente será contínuo onde sin(xy)neq0, ou seja,
xyneq kpi, kinZ
No ponto (0,0): f(0,0)=0, mas
lim(x,y)to(0,0)xysin(xy) =limtto0tsin t=1neq0,
logo há descontinuidade em (0,0).
Resposta
(a) Contínua em R^2setminus(0,0).
(b) Contínua em R^2setminus(0,0).
(c) Contínua em (x,y)inR^2:sin(xy)neq0, isto é (x,y):xyneq kpi, kinZ.