Determine, nas questões abaixo, qual a região onde a função é contínua. Justifique a resposta.

Passo 1

O enunciado pede determinar a região de continuidade de três funções de duas variáveis. Vamos usar que polinômios e a função sin são contínuos em toda parte, e que o quociente de duas funções contínuas é contínuo sempre que o denominador não zera. Para a função definida por partes, também vamos verificar cada ramo e a continuidade no ponto de junção.

Passo 2

Para
f(x, y)=x^2yx^2+y^2
o numerador x^2y e o denominador x^2+y^2 são polinômios, logo contínuos em R^2. O quociente será contínuo sempre que
x^2+y^2neq 0,
isto é, em todos os pontos de R^2 exceto (0,0).

Passo 3

Para
f(x, y)=sinl(x^2+y^2r)x^2+y^2
temos que x^2+y^2 é polinomial (contínua) e sin é contínua, de modo que o numerador e o denominador são contínuos. Assim o quociente é contínuo sempre que
x^2+y^2neq0,
ou seja, em R^2setminus(0,0).

Passo 4

Considere
f(x,y)= xysin(xy),&se (x,y)neq(0,0), 0,&se (x,y)=(0,0)
  1. Para (x,y)neq(0,0): o numerador xy e o denominador sin(xy) são funções contínuas. O quociente será contínuo onde sin(xy)neq0, ou seja,
xyneq kpi, kinZ
  1. No ponto (0,0): f(0,0)=0, mas
lim(x,y)to(0,0)xysin(xy) =limtto0tsin t=1neq0,
logo há descontinuidade em (0,0).

Resposta

(a) Contínua em R^2setminus(0,0).
(b) Contínua em R^2setminus(0,0).
(c) Contínua em (x,y)inR^2:sin(xy)neq0, isto é (x,y):xyneq kpi, kinZ.

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