[15pts] Resolva o P.V.I. dado
y^prime prime+6 y^prime+5 y=0 ; y(2)=2, y^prime(2)=-3

Passo 1

O enunciado pede a solução do P.V.I.
y'' + 6y' + 5y = 0, y(2)=2, y'(2)=-3
O conteúdo é EDO linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. Vamos resolver formando a equação característica, obter a solução geral e então usar as condições iniciais para determinar as constantes.

Passo 2

Formamos a equação característica trocando y por e^rx:
r^2 + 6r + 5 = 0
Resolvendo por fatoração,
r^2 + 6r + 5 = (r+1)(r+5)=0
logo as raízes são r1=-1 e r2=-5. Assim a solução geral é
y(x) = C1 e^-x + C2 e^-5x

Passo 3

Calculamos a derivada y'(x):
y'(x) = -C1 e^-x - 5 C2 e^-5x

Passo 4

Impondo as condições iniciais em x=2, obtemos o sistema
C1 e^-2 + C2 e^-10 = 2, -,C1 e^-2 - 5,C2 e^-10 = -3

Passo 5

Somando as duas equações elimina C1:
-4,C2 e^-10 = -1 Longrightarrow C2 e^-10 = tfrac14 Longrightarrow C2 = tfrac14 e^10
Substituindo em C1 e^-2 + C2 e^-10=2:
C1 e^-2 + tfrac14 = 2 Longrightarrow C1 e^-2 = tfrac74 Longrightarrow C1 = tfrac74e^2

Resposta

boxedy(x) = 74e^2e^-x + 14e^10e^-5x = 74e^2-x + 14e^10-5x

Exercícios relacionados