Admitindo a continuidade das derivadas envolvidas, prove as seguintes relações:
partial(x, y)partial(u, v) cdot partial(u, v)partial(x, y)=1

Passo 1

O enunciado pede para provar que, dadas as funções inversas e admitindo que todas as derivadas são contínuas, vale
partial(x,y)partial(u,v);cdot;partial(u,v)partial(x,y) = 1
O conteúdo principal é usar a regra da cadeia e a propriedade de determinantes de matrizes.

Passo 2

Como x=x(u,v) e y=y(u,v) têm inversas u=u(x,y) e v=v(x,y), ao compormos obtemos as identidades
xl(u(x,y),,v(x,y)r)=x, yl(u(x,y),,v(x,y)r)=y
Aplicando a regra da cadeia a cada componente, por exemplo em x(u(x,y),v(x,y)), temos
partial xpartial x =partial xpartial u,partial upartial x +partial xpartial v,partial vpartial x,
e de modo análogo para as demais três derivadas parciais.

Passo 3

Organizando essas quatro equações num produto de matrizes jacobianas, obtemos
partial xpartial u & partial xpartial v[6pt] partial ypartial u & partial ypartial v ;; partial upartial x & partial upartial y[6pt] partial vpartial x & partial vpartial y = 1 & 0[3pt] 0 & 1
Ou seja,
J(x,y)/(u,v);cdot;J(u,v)/(x,y) = I2 ]

Passo 4

Tomando determinante em ambos os lados e usando det(AB)=det A;det B e det I2=1, segue
detl(J(x,y)/(u,v)r);detl(J(u,v)/(x,y)r) =1
Mas por definição detl(J(x,y)/(u,v)r)=partial(x,y)partial(u,v) e análogo para o inverso, chegando à relação desejada.

Resposta

partial(x,y)partial(u,v);cdot;partial(u,v)partial(x,y) = 1

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