Admitindo a continuidade das derivadas envolvidas, prove as seguintes relações:
Passo 1
O enunciado pede para provar que, dadas as funções inversas e admitindo que todas as derivadas são contínuas, vale
O conteúdo principal é usar a regra da cadeia e a propriedade de determinantes de matrizes.
Passo 2
Como
e
têm inversas
e
, ao compormos obtemos as identidades
Aplicando a regra da cadeia a cada componente, por exemplo em
, temos
e de modo análogo para as demais três derivadas parciais.
Passo 3
Organizando essas quatro equações num produto de matrizes jacobianas, obtemos
Ou seja,
Passo 4
Tomando determinante em ambos os lados e usando
det(AB)=det A;det B e
det I2=1 , segue
Mas por definição
detl(J(x,y)/(u,v)r)=partial(x,y)partial(u,v) e análogo para o inverso, chegando à relação desejada.