1. [15pts] Resolva o P.V.I. dado
y^prime prime+6 y^prime+5 y=0 ; y(3)=3, y^prime(3)=-2

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial (P.V.I.)
y'' + 6y' + 5y = 0, y(3)=3, y'(3)=-2
O conteúdo envolvido é EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes, que se resolve montando a equação característica.

Passo 2

Formamos a equação característica associada à EDO:
r^2 + 6r + 5 = 0
Fatorando, temos (r+1)(r+5)=0, logo as raízes são
r1 = -1, r2 = -5
Isso dá a solução geral
y(x) = C1 e^-x + C2 e^-5x

Passo 3

Para impor as condições iniciais, precisamos de y'(x). Calculando a derivada,
y'(x) = -C1 e^-x - 5C2 e^-5x
Em x=3, as condições y(3)=3 e y'(3)=-2 viram o sistema (definindo a = e^-3 e b=e^-15):
a,C1 + b,C2 = 3, -,a,C1 -5,b,C2 = -2

Passo 4

Somando as duas equações do sistema elimina C1:
-4,b,C2 = 1 Longrightarrow C2 = -14b = -e^154
Substituindo em a,C1 + b,C2 = 3:
a,C1 = 3 - b,C2 = 3 + 14 Longrightarrow C1 = 134a = 13e^34

Resposta

y(x) = 13e^34,e^-x ;-;e^154,e^-5x ,=,134e^3-x ;-;14e^15-5x

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