1. Verifique que a mudança de coordenadas T:(u, v)=(x / a, y / b) transforma a elipse x^2a^2+y^2b^2=1 no círculo unitário de centro na origem do plano uv. Defina uma mudança de coordenadas T: R^3 R^3 que aplica o elipsóide x^2a^2+y^2b^2+z^2c^2=1 na esfera unitária.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a aplicação de escala
T2:;(x,y)longmapsto(u,v)=l(x/a,;y/br)
leva a elipse
x^2a^2+y^2b^2=1
no círculo unitário
u^2+v^2=1
Em seguida, devemos estender essa ideia para definir uma aplicação
T3:R^3longrightarrowR^3
que leva o elipsóide
x^2a^2+y^2b^2+z^2c^2=1
na esfera unitária
u^2+v^2+w^2=1
O conteúdo é simplesmente mudança de coordenadas por escalas.

Passo 2

Mostramos que se (x,y) satisfaz
x^2a^2+y^2b^2=1
então, definindo
(u,v)=l(x/a,;y/br),
temos
u^2+v^2 =l(xar)^2+l(ybr)^2 =x^2a^2+y^2b^2 =1,
isto é, (u,v) pertence ao círculo unitário.

Passo 3

Para o caso tridimensional, estendemos o mesmo tipo de escala a cada coordenada, definindo
T3:;(x,y,z)longmapsto(u,v,w) =l(x/a,;y/b,;z/cr)

Passo 4

Verificamos que se (x,y,z) satisfaz o elipsóide
x^2a^2+y^2b^2+z^2c^2=1,
então
u^2+v^2+w^2 =l(xar)^2+l(ybr)^2+l(zcr)^2 =x^2a^2+y^2b^2+z^2c^2 =1,
logo (u,v,w) está na esfera unitária.

Resposta

A mudança de coordenadas que leva o elipsóide
x^2a^2+y^2b^2+z^2c^2=1
na esfera unitária é
T3(x,y,z) = l(xa,,yb,,zcr)

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