(a) Estabeleça uma expressão para integral1^a e^x d x como um limite de somas.
(b) Calcule a expressão.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • (a) escrever a integral
integral1^a e^x,dx
como limite de somas de Riemann;
  • (b) calcular o valor desse limite.
    Para isso vamos usar a definição de integral como limite de somas de Riemann e, em seguida, avaliar uma soma geométrica para obter o resultado.

Passo 2

Dividimos o intervalo [1,a] em n subintervalos de comprimento
De<a x = a-1n
Escolhemos os pontos de amostragem pelos extremos direitos:
xi = 1 + i,De<a x = 1 + i,a-1n, i=1,2,dots,n
A soma de Riemann associada é
Sn = sumi=1^n e^xi,De<a x = sumi=1^n e^,1 + ia-1n;a-1n
Pela definição de integral,
integral1^a e^x,dx = limntoinfty Sn = limntoinfty a-1n sumi=1^n e^,1 + ia-1n

Passo 3

Fatoramos a constante e^1 e escrevemos a soma como progressão geométrica. Seja
r = e^a-1n,
então
Sn = e^1,a-1n sumi=1^n r^,i = e,a-1n cdot rl(r^n-1r)r-1

Passo 4

Substituindo r^n = e^a-1 e lembrando que quando ntoinfty vale
r-1 = e^a-1n - 1sim a-1n,
temos
Sn = e, a-1n cdot e^a-1nl(e^a-1-1r) e^a-1n-1 ;longrightarrow; e,(e^a-1-1) = e^a-e
Logo o limite de Sn é e^a-e.

Resposta

(a)
integral1^a e^x,dx = limntoinfty a-1n sumi=1^n e^,1 + ia-1n
(b)
integral1^a e^x,dx = e^a - e

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