(a) Estabeleça uma expressão para
como um limite de somas.
(b) Calcule a expressão.
(b) Calcule a expressão.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- (a) escrever a integral
como limite de somas de Riemann;
- (b) calcular o valor desse limite.
Para isso vamos usar a definição de integral como limite de somas de Riemann e, em seguida, avaliar uma soma geométrica para obter o resultado.
Passo 2
Dividimos o intervalo
em
subintervalos de comprimento
Escolhemos os pontos de amostragem pelos extremos direitos:
A soma de Riemann associada é
Pela definição de integral,
Passo 3
Fatoramos a constante
e escrevemos a soma como progressão geométrica. Seja
então
Passo 4
Substituindo
e lembrando que quando
vale
temos
Logo o limite de
é
.
Resposta
(a)
(b)