sumn=1^infty(n3 n+1)^n

Passo 1

O enunciado nos dá a série
sumn=1^inftyl(n3n+1r)^n
e pede para analisar sua convergência. Como cada termo é positivo e elevado à potência n, faz sentido usar o teste da raiz (Cauchy) para verificar convergência absoluta.

Passo 2

O teste da raiz diz que, considerando an=l(tfracn3n+1r)^n, devemos calcular
L = limntoinfty raiz[n]an
Se L<1, a série converge absolutamente; se L>1, diverge; e se L=1, o teste é inconclusivo.

Passo 3

Note que
raiz[n]an = raiz[n]l(n3n+1r)^n = n3n+1
Agora basta calcular
L = limntoinftyn3n+1 =limntoinfty13+tfrac1n =13

Passo 4

Como L=tfrac13<1, o teste da raiz garante que a série converge absolutamente, logo converge.

Resposta

A série
sumn=1^inftyl(tfracn3n+1r)^n
converge.

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