(16) lim n infty(1+1n^2)^n

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite da sequência
an = gl(1 + 1n^2gr)^n
quando n to infty. O conteúdo aqui é limites de sequências do tipo (1+xn)^yn e vamos usar a ligação com a função exponencial via logaritmo natural.

Passo 2

Reescrevemos an em termos da função exponencial e do logaritmo natural, pois isso facilita o estudo do limite:
an = expl(ln anr) = expl(n lnl(1 + tfrac1n^2r)r)

Passo 3

Agora, analisamos o expoente
En = n lnl(1 + tfrac1n^2r)
Como tfrac1n^2to0, usamos a expansão de Taylor de ln(1+x) para x pequeno:
ln(1+x) = x - x^22 + o(x^2)
Substituindo x = tfrac1n^2 obtemos
lnl(1 + tfrac1n^2r) = 1n^2 - 12n^4 + ol(tfrac1n^4r)
Multiplicando por n,
En = nl(1n^2 - 12n^4 + ol(tfrac1n^4r)r) = 1n - 12n^3 + ol(tfrac1n^3r)
Quando ntoinfty, todos os termos dessa expressão tendem a zero, logo
limntoinftyEn = 0

Passo 4

Como an = exp(En) e sabemos que Ento0, concluímos que
limntoinftyan = expl(limntoinftyEnr) = exp(0) = 1

Resposta

1

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