Calcule, caso exista. Se não existir, justifique.
a)
g)
h)
i) onde
j) onde
l) sendo a função do item ( )
m) onde é a função do item

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos vários limites a calcular, alguns unilaterais, envolvendo a função |x-1|x-1 e também limites que correspondem a derivadas laterais de funções definidas por partes. Vamos usar (1) o fato de que
|x-1| = x-1,&x>1, -(x-1),&x<1,
(2) limites unilaterais, e (3) o quociente de diferença para derivadas de funções por partes.

Passo 2

Para
limxto1^+|x-1|x-1, como x>1 vale |x-1|=x-1, o quociente é 1.
Para
limxto1^-|x-1|x-1, como x<1 vale |x-1|=-(x-1), o quociente é -1.

Passo 3

Para
em e ,

Passo 4

Para
limxto0raizx, a função raizx só está definida em x>=0. Não há vizinhança de 0 à esquerda, logo o limite bilateral não existe.

Passo 5

Para
limxto1|x-1|x-1, os limites laterais são 1 e -1, diferentes, logo o limite bilateral não existe.

Passo 6

Para
à esquerda (, à direita ( ) é . Como são diferentes, o limite não existe.

Passo 7

Para
limxto2^+x^2-2x+1x-1, note x^2-2x+1=(x-1)^2, então
(x-1)^2x-1=x-1(xneq1),
e em xto2^+ isso vai a 1.
Para
limxto3|x-1|x-1, como 3>1 em torno de 3 o quociente vale sempre 1.

Passo 8

Para
à esquerda
. Como ambos dão , o limite existe e vale .

Passo 9

Com
g(x)= x,&x>=2, dfracx^22,&x<2,
temos:
– Para xto2^-,
g(x)-g(2)x-2 =tfracx^22-2x-2 =(x-2)(x+2)/2x-2 =x+22to2
– Para xto2^+,
g(x)-g(2)x-2 =x-2x-2 =1
O item (m) repete o limite à esquerda, que é 2.

Resposta

a) 1
b) -1
c) 1
d) não existe, pois raizx não está definida para x<0
e) não existe, pois os limites laterais são 1 e -1
f) não existe, pois as derivadas laterais são 2 e 1
g) 1
h) 1
i) 2
j) 2
l) 1
m) 2

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