Calcule o Jacobiano das transformações seguintes:
lx=r cos theta y=r sen theta z=z

Passo 1

O enunciado dá a transformação das coordenadas cilíndricas
Queremos o Jacobiano a .

Passo 2

Montamos a matriz Jacobiana computando cada derivada parcial:
J = partial xpartial r & partial xpartial theta & partial xpartial z [6pt] partial ypartial r & partial ypartial theta & partial ypartial z [6pt] partial zpartial r & partial zpartial theta & partial zpartial z = costheta & -rsentheta & 0 [4pt] sentheta & rcostheta & 0 [4pt] 0 & 0 & 1 ]

Passo 3

Para calcular o determinante de J, note que é uma matriz em bloco triangular:
det J = costheta & -rsentheta [4pt] sentheta & rcostheta cdot 1 = l(costhetacdot rcostheta - (-rsentheta)cdotsenthetar)cdot 1
Dentro do parêntese,
rcos^2theta + rsen^2theta = rl(cos^2theta+sen^2thetar) = r ]

Resposta

O Jacobiano da transformação é
J = r

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