Resolva os problemas de valor inicial dados.
(\left(\frac{1}{1+y^{2}}+\cos x-2 x y\right) \frac{d y}{d x}=y(y+\operatorname{sen} x), y(0)=1)
(\left(\frac{1}{1+y^{2}}+\cos x-2 x y\right) \frac{d y}{d x}=y(y+\operatorname{sen} x), y(0)=1)
Passo 1
O enunciado fornece a equação diferencial com condição inicial. Vou listar exatamente o que foi dado e o que se pede:
- Equação diferencial:
- Condição inicial:
O que se pede: encontrar a solução
que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial
. A solução pode aparecer de forma implícita ou explícita; aceitaremos uma solução implícita se não for possível isolar
em forma fechada.
Passo 2
Colocar a equação na forma diferencial padrão
. Para isso, passo tudo para o lado esquerdo (multiplicando por
):
Logo podemos identificar:
Passo 3
Explicação didática: o teste de exatidão.
- Uma equação da forma
é chamada de exata se existe uma função potencial tal que
- Uma maneira prática de testar exatidão é comparar as derivadas parciais cruzadas:
Se forem iguais numa região, a equação é exata nessa região. Isso significa que
existe e a solução geral é
.
Passo 4
Calcular as derivadas parciais para testar exatidão.
Derivada parcial de
em relação a
:
Derivada parcial de
em relação a
:
Comparando:
Como são iguais, a equação é exata.
Passo 5
Encontrar a função potencial
. Como
, integro
em relação a
, tratando
como constante:
Fazendo a integral (recorde:
é constante ao integrar em
):
portanto
onde
é uma função arbitrária de
(constante de integração em relação a
).
Passo 6
Determinar
usando a condição
.
Calculo
:
Devemos igualar isso a
:
Cancelam-se
e
, sobrando
Integro
em relação a
:
onde
é constante (que pode ser absorvida na constante final da solução implícita).
Passo 7
Escrever
completo e obter a solução implícita. Substituindo
:
A solução geral implícita da equação exata é
onde
é constante arbitrária.
Passo 8
Aplicar a condição inicial
para determinar
.
Substituindo
e
:
Como
e
, obtemos
Passo 9
Conclusão: a solução determinada pela condição inicial é a relação implícita encontrada com
calculada. Nem sempre é possível isolar
explicitamente em função de
a partir dessa equação; aqui a forma implícita é a solução final adequada.