Resolva os problemas de valor inicial dados.
(\left(\frac{1}{1+y^{2}}+\cos x-2 x y\right) \frac{d y}{d x}=y(y+\operatorname{sen} x), y(0)=1)

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial com condição inicial. Vou listar exatamente o que foi dado e o que se pede:
  • Equação diferencial:
\left(\frac{1}{1+y^{2}}+\cos x-2xy\right)\frac{dy}{dx}=y\bigl(y+\sin x\bigr).
  • Condição inicial:
y(0)=1.
O que se pede: encontrar a solução y(x) que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial y(0)=1. A solução pode aparecer de forma implícita ou explícita; aceitaremos uma solução implícita se não for possível isolar y em forma fechada.

Passo 2

Colocar a equação na forma diferencial padrão M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy = 0. Para isso, passo tudo para o lado esquerdo (multiplicando por dx):
-y\bigl(y+\sin x\bigr)\,dx + \left(\frac{1}{1+y^{2}}+\cos x-2xy\right)\,dy = 0.
Logo podemos identificar:
M(x,y) = -y\bigl(y+\sin x\bigr) = -(y^2 + y\sin x),
N(x,y) = \frac{1}{1+y^{2}}+\cos x-2xy.

Passo 3

Explicação didática: o teste de exatidão.
  • Uma equação da forma M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy = 0 é chamada de exata se existe uma função potencial \Phi(x,y) tal que
\frac{\partial\Phi}{\partial x}=M(x,y)\quad\text{e}\quad \frac{\partial\Phi}{\partial y}=N(x,y).
  • Uma maneira prática de testar exatidão é comparar as derivadas parciais cruzadas:
\frac{\partial M}{\partial y}\quad\text{e}\quad\frac{\partial N}{\partial x}.
Se forem iguais numa região, a equação é exata nessa região. Isso significa que \Phi existe e a solução geral é \Phi(x,y)=C.

Passo 4

Calcular as derivadas parciais para testar exatidão.
Derivada parcial de M em relação a y:
\frac{\partial M}{\partial y} = -\frac{\partial}{\partial y}\bigl(y^2 + y\sin x\bigr) = -(2y + \sin x).
Derivada parcial de N em relação a x:
\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\!\left(\frac{1}{1+y^{2}}+\cos x-2xy\right) = -\sin x -2y.
Comparando:
\frac{\partial M}{\partial y}=-(2y+\sin x) = -2y-\sin x = \frac{\partial N}{\partial x}.
Como são iguais, a equação é exata.

Passo 5

Encontrar a função potencial \Phi(x,y). Como \partial\Phi/\partial x = M(x,y), integro M em relação a x, tratando y como constante:
\Phi(x,y)=\int M(x,y)\,dx = \int -(y^2 + y\sin x)\,dx.
Fazendo a integral (recorde: y é constante ao integrar em x):
\int -y^2\,dx = -x y^2,
\int -y\sin x\,dx = y\cos x,
portanto
\Phi(x,y) = -x y^2 + y\cos x + h(y),
onde h(y) é uma função arbitrária de y (constante de integração em relação a x).

Passo 6

Determinar h(y) usando a condição \partial\Phi/\partial y = N(x,y).
Calculo \partial\Phi/\partial y:
\frac{\partial\Phi}{\partial y} = -2xy + \cos x + h'(y).
Devemos igualar isso a N(x,y):
-2xy + \cos x + h'(y) = \frac{1}{1+y^{2}}+\cos x-2xy.
Cancelam-se \cos x e -2xy, sobrando
h'(y)=\frac{1}{1+y^{2}}.
Integro h'(y) em relação a y:
h(y)=\int \frac{1}{1+y^{2}}\,dy = \arctan y + C_0,
onde C_0 é constante (que pode ser absorvida na constante final da solução implícita).

Passo 7

Escrever \Phi(x,y) completo e obter a solução implícita. Substituindo h(y):
\Phi(x,y) = -x y^2 + y\cos x + \arctan y.
A solução geral implícita da equação exata é
-x y^2 + y\cos x + \arctan y = C,
onde C é constante arbitrária.

Passo 8

Aplicar a condição inicial y(0)=1 para determinar C.
Substituindo x=0 e y=1:
-0\cdot 1^2 + 1\cdot\cos 0 + \arctan 1 = C.
Como \cos 0 = 1 e \arctan 1 = \pi/4, obtemos
C = 1 + \frac{\pi}{4}.

Passo 9

Conclusão: a solução determinada pela condição inicial é a relação implícita encontrada com C calculada. Nem sempre é possível isolar y explicitamente em função de x a partir dessa equação; aqui a forma implícita é a solução final adequada.

Resposta

-x y^{2} + y\cos x + \arctan y = 1 + \dfrac{\pi}{4}

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