[16] Calcule o comprimento de arco da curva r=1+cos theta2.

Passo 1

O enunciado pede o comprimento de arco da curva em coordenadas polares dada por r(theta)=1+costheta2 no intervalo [0,2pi]. O conteúdo é comprimento de arco em coordenadas polares, e vamos precisar da fórmula L=integrala^b raizr^2+(tfracdrdtheta)^2,dtheta.

Passo 2

Vamos primeiro calcular a derivada tfracdrdtheta. Como r(theta)=tfrac1+costheta2, temos:
drdtheta=-12sintheta

Passo 3

Agora montamos o integrando:
r^2+l(drdthetar)^2=(1+costheta)^24+sin^2theta4=2+2costheta4=1+costheta2

Passo 4

Extraímos a raiz quadrada e simplificamos usando 1+costheta=2cos^2(tfractheta2):
raizr^2+l(drdthetar)^2=raiz1+costheta2=|cos(tfractheta2)|
Como cos(tfractheta2)>=0 em [0,pi] e negativo em [pi,2pi], quebramos a integral:
L=integral0^picosl(tfractheta2r)dtheta+integralpi^2pi-cosl(tfractheta2r)dtheta

Passo 5

Calculamos as duas integrais separadamente usando integralcos(tfractheta2)dtheta=2sin(tfractheta2):
  • Primeiro trecho: 2[sin(tfracpi2)-sin(0)]=2.
  • Segundo trecho: -2[sin(pi)-sin(tfracpi2)]=2.

Resposta

4

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