Calcule f^prime(x) para as funções f abaixo:
f(x)=raiz[6]x tg^2 x

Passo 1

Estamos com a função f(x)=raiz[6]x,tg^2 x=(x,tg^2 x)^1/6. O conteúdo aqui é derivação de função composta e produto dentro de uma raiz, e vamos usar diferenciação logarítmica para simplificar.

Passo 2

Primeiro reescrevemos a função em forma de potência: f(x)=(x,tg^2 x)^1/6

Passo 3

Agora aplicamos logaritmo natural em ambos os lados definindo y=f(x). Temos ln y=16lnl(x,tg^2 xr)=16l(ln x+ln(tg^2 x)r)=16l(ln x+2ln(tg x)r)

Passo 4

Derivamos implícita em relação a x. Do lado esquerdo fica y'/y. Do direito, usando ddxln x=1/x e ddxln(tg x)=sec^2 xtg x, obtemos: y'y=16l(1x+2sec^2 xtg xr)

Passo 5

Isolando y' e voltando à f(x), resulta f'(x)=f(x)cdot16l(1x+2sec^2 xtg xr)=(x,tg^2 x)^1/6cdot16l(1x+2sec^2 xtg xr)

Passo 6

Podemos simplificar 2sec^2 x/tg x=2/(sin xcos x), deixando a forma mais direta: f'(x)=(x,tg^2 x)^1/6l(16x+13sin xcos xr)

Resposta

f'(x)=(x,tg^2 x)^1/6l(tfrac16x+tfrac13sin xcos xr).

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