Determine o domínio das funções

Passo 1

O enunciado pede para achar o domínio da função f(x)=dfracraizx^2-4log2(x^2+2x-3). O conteúdo envolve radiciação (para a raiz quadrada) e logaritmo (para o denominador). Vamos precisar garantir que o radicando seja não-negativo e que o argumento do logaritmo seja positivo e diferente de 1.

Passo 2

Para a raiz raizx^2-4 precisamos de: x^2-4>=0. Resolvendo:
x^2-4>=0implies x^2>=4implies x<=-2ou x>=2

Passo 3

Para o logaritmo log2(x^2+2x-3) no denominador, o argumento deve satisfazer duas condições: (i) x^2+2x-3>0 e (ii) não pode ser igual a 1 (para evitar divisor zero). Primeiro resolvemos:
x^2+2x-3>0As raízes da equação são x=-3 e x=1, e a parábola abre para cima, logo: x^2+2x-3>0 para x<-3 ou x>1.

Passo 4

Agora intersectamos as condições de raiz e logaritmo: temos x<=-2 ou x>=2 (da raiz) com x<-3 ou x>1 (do log). Isso gera duas faixas viáveis: x<-3 e x>=2.

Passo 5

Restou impedir que x^2+2x-3=1, pois isso anularia o denominador. Resolvendo:
x^2+2x-3=1implies x^2+2x-4=0implies x=-1pmraiz5 Destes, apenas x=-1-raiz5 (aprox. -3.236) cai na faixa x<-3. Portanto excluímos x=-1-raiz5 dessa parte do domínio.

Resposta

(-infty,-1-raiz5)cup(-1-raiz5,-3)cup[2,infty)

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