16 Calcule o limite justificando cada passagem com as Propriedades dos Limites que forem usadas.
lim x 4(5 x^2-2 x+3)
lim x -1 x-2x^2+4 x-3
lim x 8(1+raiz[3]x)(2-6 x^2+x^3)
lim t -1(t^2+1)^3(t+3)^5
lim x 1(1+3 x1+4 x^2+3 x^4)^3
lim u -2 raizu^4+3 u+6

Passo 1

O enunciado pede para calcular seis limites distintos usando as propriedades de limite: soma, produto, quociente, potência e continuidade de funções polinomiais, radicais e compostas. Vamos usar que polinômios e radicais (em domínio adequado) são contínuos, além das regras
limxto a[f(x)pm g(x)]=limxto af(x)pmlimxto ag(x),
limxto a[f(x),g(x)]=limxto af(x),cdot,limxto ag(x),
limxto af(x)g(x)=limxto af(x)limxto ag(x) (se lim gneq0),
limxto a[f(x)]^n=[limxto af(x)]^n e
limxto araiz[m]f(x)=raiz[m]limxto af(x) (se o interior for não negativo quando m par).

Passo 2

Para limxto4(5x^2 -2x +3), note que é um polinômio, logo contínuo em todo R. Assim
limxto4(5x^2 -2x +3) =5cdot4^2 -2cdot4 +3 =5cdot16 -8 +3 =80 -8 +3 =75

Passo 3

Para limxto-1x-2x^2+4x-3, ambas as partes são polinômios contínuos e no divisor temos
(-1)^2 +4(-1) -3 =1 -4 -3 =-6neq0
Pela propriedade do quociente,
limxto-1x-2x^2+4x-3 =-1-2-6 =-3-6 =12

Passo 4

Para limxto8(1+raiz[3]x)(2-6x^2+x^3), temos produto de funções contínuas: xmapsto1+raiz[3]x e o polinômio 2-6x^2+x^3. Logo
limxto8(1+raiz[3]x) =1+raiz[3]8 =1+2 =3,
limxto8(2-6x^2+x^3) =2-6cdot8^2+8^3 =2-6cdot64+512 =2-384+512 =130,
e pelo produto
limxto8(1+raiz[3]x)(2-6x^2+x^3) =3cdot130 =390

Passo 5

Para limtto-1(t^2+1)^3,(t+3)^5, cada fator é contínuo (polinômio e potência). Avaliando em t=-1:
t^2+1 =(-1)^2+1=2, (t^2+1)^3=2^3=8,
t+3=-1+3=2, (t+3)^5=2^5=32,
portanto
limtto-1(t^2+1)^3,(t+3)^5 =8cdot32 =256

Passo 6

Para limxto1l(1+3x1+4x^2+3x^4r)^3, o quociente interior é contínuo e o cubo também. Avaliando em x=1:
1+3cdot11+4cdot1^2+3cdot1^4 =41+4+3 =48 =12,
logo
limxto1l(1+3x1+4x^2+3x^4r)^3 =l(tfrac12r)^3 =18

Passo 7

Para limuto-2raizu^4+3u+6, o interior u^4+3u+6 é polinomial e contínuo; em u=-2 fica
(-2)^4 +3(-2)+6 =16 -6 +6 =16>=0,
e a raiz quadrada é contínua para valores não negativos, então
limuto-2raizu^4+3u+6 =raiz16 =4

Resposta

  1. 75
  2. tfrac12
  3. 390
  4. 256
  5. tfrac18
  6. 4

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