Seja f uma função definida em R tal que, para todo x vale: |f(x)-3| <= 2|x-1|. Calcule
lim x 1 f(x).
Dica: Lembre que: |A| <= c é equivalente à desigualdade: -c <= A <= c.
Para decidir se o limite existe neste exercício, você precisará calcular limites laterais.

Passo 1

O enunciado diz que f é definida em R e, para todo x, satisfaz
|f(x)-3|<= 2|x-1|
Precisamos calcular limxto1f(x). O conteúdo principal aqui é o Teorema do Confronto (ou Squeeze Theorem) e a verificação dos limites laterais.

Passo 2

A desigualdade em valor absoluto
|f(x)-3|<= 2|x-1|
é equivalente a
-2|x-1|<= f(x)-3<= 2|x-1|

Passo 3

Somando 3 em todas as partes da desigualdade, obtemos
3-2|x-1|;<=;f(x);<=;3+2|x-1|

Passo 4

Defina
g(x)=3-2|x-1|, h(x)=3+2|x-1|
Para xto1^- e xto1^+ temos
limxto1^pmg(x)=3, limxto1^pmh(x)=3
Como g(x)<= f(x)<= h(x), pelo Teorema do Confronto todos os limites laterais de f(x) em x=1 são iguais a 3. Logo o limite existe.

Resposta

limxto1f(x)=3

Exercícios relacionados