Calcule, caso exista:
lim x 0(1x-1|x|).

Passo 1

O enunciado pede a existência e o valor de
limxto0l(1x-1|x|r)
O conteúdo aqui é análise de limites laterais de uma função definida em partes (por conta de |x|). Vamos calcular separadamente para x>0 e para x<0.

Passo 2

Limite pela direita ( xto0^+). Se x>0, então |x|=x e
1x-1|x|=1x-1x=0
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limxto0^+l(1x-1|x|r)=0

Passo 3

Limite pela esquerda ( xto0^-). Se x<0, então |x|=-x e
1x-1|x| =1x-1-x =1x+1x =2x
Como xto0^- faz x ser um número negativo muito pequeno,
limxto0^-2x=-infty

Passo 4

Concluímos que
limxto0^+l(1x-1|x|r)=0 e limxto0^-l(1x-1|x|r)=-infty
Como os dois limites laterais não coincidem (um é 0, o outro diverge para -infty), o limite geral em 0 não existe.

Resposta

O limite não existe.

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