20 Se 4 x-9 <= f(x) <= x^2-4 x+7 para x >= 0, encontre lim x 4 f(x).
21 Se 2 x <= g(x) <= x^4-x^2+2 para todo x, encontre lim x 1 g(x).

Passo 1

Temos dois exercícios de aplicação do Teorema do Confronto (ou Teorema do Sanduíche).
No exercício 20, sabe-se que para todo x>=0
4x - 9 <= f(x) <= x^2 - 4x + 7
e queremos limxto4f(x).
No exercício 21, sabe-se que para todo x
2x <= g(x) <= x^4 - x^2 + 2
e queremos limxto1g(x).

Passo 2

Para o exercício 20, calculamos os limites das funções que “confrontam” f em xto4:
limxto4(4x - 9) = 4cdot4 - 9 = 16 - 9 = 7
e
limxto4(x^2 - 4x + 7) = 4^2 - 4cdot4 + 7 = 16 - 16 + 7 = 7.

Passo 3

Como ambas as funções-limite tendem a 7 e
4x - 9 <= f(x) <= x^2 - 4x + 7,
pelo Teorema do Confronto segue que
limxto4f(x) = 7

Passo 4

Para o exercício 21, calculamos os limites das funções que “confrontam” g em xto1:
limxto1(2x) = 2cdot1 = 2
e
limxto1(x^4 - x^2 + 2) = 1^4 - 1^2 + 2 = 1 - 1 + 2 = 2.

Passo 5

Como ambas as funções-limite tendem a 2 e
2x <= g(x) <= x^4 - x^2 + 2,
pelo Teorema do Confronto segue que
limxto1g(x) = 2

Resposta

  1. 7
  2. 2

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