8.5I Calcule pelos dois métodos (Fatiamento e Cascas Cilíndricas) o volume do sólido obtido por rotação em torno do eixo
da região delimitada pela curva
e o eixo
.
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido gerado ao girar em torno do eixo
a região limitada pela curva
e o eixo
. Isso cai no tema de volumes por revolução. Vamos usar dois métodos: cascas cilíndricas (fatiamento paralelo ao eixo de rotação) e discos/arroelas (fatiamento perpendicular ao eixo).
Passo 2
Beleza, pelo método das cascas cilíndricas cada casca a uma distância
do eixo
tem altura
e espessura
. O volume de cada casca é
Integrando de
até
:
Passo 3
Agora, pelo método dos discos (fatiamento perpendicular ao eixo
), para cada
entre
e
a seção é uma arroela com raio externo
e interno
, obtidos das raízes de
Assim,
A área da seção é
Passo 4
Como
vai de
(eixo
) até
(vértice da parábola), o volume é
Resposta
O volume, pelos dois métodos, é
.