8.5I Calcule pelos dois métodos (Fatiamento e Cascas Cilíndricas) o volume do sólido obtido por rotação em torno do eixo y da região delimitada pela curva y=2 x-x^2 e o eixo x.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido gerado ao girar em torno do eixo y a região limitada pela curva y=2x-x^2 e o eixo x. Isso cai no tema de volumes por revolução. Vamos usar dois métodos: cascas cilíndricas (fatiamento paralelo ao eixo de rotação) e discos/arroelas (fatiamento perpendicular ao eixo).

Passo 2

Beleza, pelo método das cascas cilíndricas cada casca a uma distância x do eixo y tem altura
h(x)=2x-x^2
e espessura dx. O volume de cada casca é
dV = 2pi x,h(x),dx =2pi x,(2x-x^2),dx
Integrando de x=0 até x=2:
V = 2piintegral0^2(2x^2 - x^3),dx =2pil[tfrac23x^3 - tfrac14x^4r]0^2 = 8pi3

Passo 3

Agora, pelo método dos discos (fatiamento perpendicular ao eixo y), para cada y entre 0 e 1 a seção é uma arroela com raio externo R(y) e interno r(y), obtidos das raízes de
x^2 - 2x + y = 0 Rightarrow x=1pmraiz1-y
Assim,
R(y)=1+raiz1-y, r(y)=1-raiz1-y
A área da seção é
A(y)=pil[R(y)^2 - r(y)^2r] =4piraiz1-y

Passo 4

Como y vai de 0 (eixo x) até 1 (vértice da parábola), o volume é
V = integral0^14piraiz1-y,dy =4pil[-tfrac23(1-y)^3/2r]0^1 = 8pi3

Resposta

O volume, pelos dois métodos, é 8pi3.

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