[16] Calcule, usando integral dupla, a área da região R delimitada pelas curvas abaixo. Esboce os gráficos:
x=y^2+1 e x=-y+3

Passo 1

O enunciado pede para calcular a área da região R em que estão a parábola x = y² + 1 e a reta x = –y + 3, usando integral dupla. O conteúdo é área por integração em coordenadas cartesianas, e vamos precisar: (1) achar os pontos de interseção das curvas, (2) descrever R via desigualdades, (3) montar a integral dupla e (4) resolvê-la.

Passo 2

Para encontrar onde as curvas se cruzam, igualamos y² + 1 = –y + 3. Isso leva à equação y² + y – 2 = 0, cujas raízes são y = 1 e y = –2. Esses valores de y determinam os limites vertical e, substituindo em x = y² + 1 ou em x = –y + 3, confirmamos os pontos de interseção (x=2, y=1) e (x=5, y=–2).
Para esboçar: x = y² + 1 é uma parábola que abre para a direita com vértice em (1, 0). A reta x = –y + 3 tem inclinação –1 e intercepto em x = 3. A região R fica entre y = –2 e y = 1, limitada à esquerda pela parábola e à direita pela reta.

Passo 3

A área de R pode ser escrita como integral dupla de 1 sobre R. Num duplo integral em ordem dx dy, temos:
A = integral duplaR 1,dA = integraly=-2^1 l(integralx=y^2+1^x=-y+3 1,dxr) dy
Aqui usamos que a área é integral duplaR dA e que em cada y o x varia de y^2+1 (parábola) até -y+3 (reta).

Passo 4

Fazendo a integral interna em x, obtemos:
integraly^2+1^-y+3 1,dx = (-y+3)-(y^2+1) = -y^2 - y + 2
Logo a área vira
A = integraly=-2^1 l(-y^2 - y + 2r) dy

Passo 5

Agora integramos em y:
integral (-y^2 - y + 2) dy = -y^33 - y^22 + 2y
avaliado de y = -2 a y = 1. No topo (y=1) dá 7/6 e em y=–2 dá -10/3, resultando
A = l(tfrac76r) - l(-tfrac103r) = tfrac276 = tfrac92

Passo 6

Portanto, a área da região delimitada pelas curvas é 9/2 unidades de área.

Resposta

A = 9/2 unidades de área.

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