[16] Calcule, usando integral dupla, a área da região
delimitada pelas curvas abaixo. Esboce os gráficos:
e
Passo 1
O enunciado pede para calcular a área da região R em que estão a parábola x = y² + 1 e a reta x = –y + 3, usando integral dupla. O conteúdo é área por integração em coordenadas cartesianas, e vamos precisar: (1) achar os pontos de interseção das curvas, (2) descrever R via desigualdades, (3) montar a integral dupla e (4) resolvê-la.
Passo 2
Para encontrar onde as curvas se cruzam, igualamos y² + 1 = –y + 3. Isso leva à equação y² + y – 2 = 0, cujas raízes são y = 1 e y = –2. Esses valores de y determinam os limites vertical e, substituindo em x = y² + 1 ou em x = –y + 3, confirmamos os pontos de interseção (x=2, y=1) e (x=5, y=–2).
Para esboçar: x = y² + 1 é uma parábola que abre para a direita com vértice em (1, 0). A reta x = –y + 3 tem inclinação –1 e intercepto em x = 3. A região R fica entre y = –2 e y = 1, limitada à esquerda pela parábola e à direita pela reta.
Passo 3
A área de R pode ser escrita como integral dupla de 1 sobre R. Num duplo integral em ordem dx dy, temos:
Aqui usamos que a área é
e que em cada y o x varia de
(parábola) até
(reta).
Passo 4
Fazendo a integral interna em x, obtemos:
Logo a área vira
Passo 5
Agora integramos em y:
avaliado de y = -2 a y = 1. No topo (y=1) dá
e em y=–2 dá
, resultando
Passo 6
Portanto, a área da região delimitada pelas curvas é
unidades de área.
Resposta
A =
unidades de área.