Calcule as seguintes integrais:
8)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral integral e^x-e^-xe^x+e^-x,dx. O conteúdo é integração por substituição simples, pois o numerador corresponde à derivada do denominador.

Passo 2

Vamos definir u = e^x+e^-x. Então, derivando ambos os lados em relação a x, temos:
dudx = e^x-e^-x
ou seja,
$$
du = (e{x}-e{-x}),dx
$$

Passo 3

Com isso, a integral original se transforma em
$$\int \frac{e{x}-e{-x}}{e{x}+e{-x}},dx = \int \frac{du}{u}
$$

Passo 4

Sabemos que
$$\int \frac{du}{u} = \ln|u| + C
$$

Passo 5

Finalmente, voltamos à variável x substituindo u = e^x+e^-x.

Resposta

ln|e^x+e^-x| + C

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