Use a Fórmula Integral de Cauchy para calcular as integrais abaixo:
integralC e^2 zz^4 d z onde C é o círculo |z|=1.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral integralCe^2zz^4,dz onde C é o círculo |z|=1. O conteúdo aqui é a Fórmula Integral de Cauchy para derivadas e vamos precisar aplicar essa fórmula para f(z)=e^2z em a=0.

Passo 2

A Fórmula Integral de Cauchy para derivadas diz que, para f analítica e um ponto a no interior de C, vale
ointC f(z)(z-a)^n+1,dz = 2pi in!f^(n)(a)

Passo 3

Na integral dada temos a=0 e o expoente n+1=4, logo n=3. Assim
integralCe^2zz^4,dz = 2pi i3!,f^(3)(0),
onde f(z)=e^2z.

Passo 4

Agora calculamos as derivadas de f(z)=e^2z:
f'(z)=2e^2z,
f''(z)=4e^2z,
f'''(z)=8e^2z
Avaliando em z=0 f^(3)(0)=8.

Passo 5

Substituindo na fórmula obtemos
integralCe^2zz^4,dz = 2pi i6times 8 = 16pi i6 = 8pi i3

Resposta

8pi i3

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