Use a Fórmula Integral de Cauchy para calcular as integrais abaixo:
C onde |z|=2 é o círculo ;

Passo 1

Vamos resumir o problema: queremos calcular a integral de contorno
integralC z(9 - z^2)(z + i),dz
sobre o círculo |z|=2 usando a Fórmula Integral de Cauchy, que diz
integralCg(z)z - z0,dz = 2pi i,g(z0)
para g analítica em e dentro de C.

Passo 2

Identificamos as singularidades da função
z(9 - z^2)(z + i) = z(3 - z)(3 + z)(z + i)
os polos são z=3, z=-3 e z=-i. Como |3|=3>2 e |-3|=3>2, apenas z=-i está dentro de C.

Passo 3

Reescrevemos o integrando de forma a aplicar Cauchy: definimos
g(z) = z9 - z^2,
de modo que
z(9 - z^2)(z + i) = g(z)z - (-i)
Note que g(z) é analítica em |z|<=2 (os seus polos estão em z=pm3, fora de C).

Passo 4

Pela Fórmula Integral de Cauchy, a integral vale
integralC g(z)z - (-i),dz = 2pi i,g(-i)

Passo 5

Basta calcular
g(-i)=-i9 - (-i)^2=-i9 - (-1)=-i10
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integralCz(9 - z^2)(z + i),dz = 2pi icdot-i10 = 2pi i(-i)10 = 2pi10 = pi5

Resposta

pi5

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