[16] Calcule, usando integral dupla, a área da região
delimitada pelas curvas abaixo. Esboce os gráficos:
e
Passo 1
O exercício pede para calcular a área da região R no plano, usando integral dupla, onde R é limitada pelas curvas y=x³, y=−x+2 e y=0. Vamos estudar a teoria de área via integral dupla (A=∬_R1 dA), identificar os pontos de interseção e montar integrais iteradas do tipo I.
Passo 2
Para visualizar R, esboçamos as três curvas: y=0 (eixo x), y=x³ (curva que sai de (0,0) e cresce) e y=−x+2 (reta decrescente que intercepta o eixo x em x=2). O desenho mostra um “triângulo” curvo com vértices em (0,0), (1,1) e (2,0).
Precisamos achar onde se cruzam as curvas:
• Entre y=0 e y=x³: 0=x³ ⇒ x=0 ⇒ ponto (0,0).
• Entre y=0 e y=−x+2: 0=−x+2 ⇒ x=2 ⇒ ponto (2,0).
• Entre y=x³ e y=−x+2:
Precisamos achar onde se cruzam as curvas:
• Entre y=0 e y=x³: 0=x³ ⇒ x=0 ⇒ ponto (0,0).
• Entre y=0 e y=−x+2: 0=−x+2 ⇒ x=2 ⇒ ponto (2,0).
• Entre y=x³ e y=−x+2:
Testando x=1: 1+1−2=0, única raiz real. Logo ponto (1,1).
Passo 3
A região R pode ser descrita como união de duas sub-regiões de tipo I:
• Para 0≤x≤1, o y varia de y=0 até y=x³.
• Para 1≤x≤2, o y varia de y=0 até y=−x+2.
Assim montamos a integral dupla da área:
• Para 0≤x≤1, o y varia de y=0 até y=x³.
• Para 1≤x≤2, o y varia de y=0 até y=−x+2.
Assim montamos a integral dupla da área:
Passo 4
Agora calculamos cada parte:
Passo 5
Somando os resultados, obtemos a área total da região R, que é 1/4 + 1/2 = 3/4.
Resposta
A área da região é
.