[16] Calcule, usando integral dupla, a área da região R delimitada pelas curvas abaixo. Esboce os gráficos:
y=x^3, y=-x+2 e y=0

Passo 1

O exercício pede para calcular a área da região R no plano, usando integral dupla, onde R é limitada pelas curvas y=x³, y=−x+2 e y=0. Vamos estudar a teoria de área via integral dupla (A=∬_R1 dA), identificar os pontos de interseção e montar integrais iteradas do tipo I.

Passo 2

Para visualizar R, esboçamos as três curvas: y=0 (eixo x), y=x³ (curva que sai de (0,0) e cresce) e y=−x+2 (reta decrescente que intercepta o eixo x em x=2). O desenho mostra um “triângulo” curvo com vértices em (0,0), (1,1) e (2,0).
Precisamos achar onde se cruzam as curvas:
• Entre y=0 e y=x³: 0=x³ ⇒ x=0 ⇒ ponto (0,0).
• Entre y=0 e y=−x+2: 0=−x+2 ⇒ x=2 ⇒ ponto (2,0).
• Entre y=x³ e y=−x+2:
x^3 = -x + 2
x^3 + x - 2 = 0
Testando x=1: 1+1−2=0, única raiz real. Logo ponto (1,1).

Passo 3

A região R pode ser descrita como união de duas sub-regiões de tipo I:
• Para 0≤x≤1, o y varia de y=0 até y=x³.
• Para 1≤x≤2, o y varia de y=0 até y=−x+2.
Assim montamos a integral dupla da área:
A = integral duplaR 1,dA = integral0^1integral0^x^31,dy,dx + integral1^2integral0^-x+21,dy,dx

Passo 4

Agora calculamos cada parte:
integral0^1integral0^x^31,dy,dx = integral0^1 x^3,dx = [x^44]0^1 = 14,
integral1^2integral0^-x+21,dy,dx = integral1^2(-x+2),dx = [-x^22+2x]1^2 = 12

Passo 5

Somando os resultados, obtemos a área total da região R, que é 1/4 + 1/2 = 3/4.

Resposta

A área da região é tfrac34.

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