Calcule as seguintes integrais:
3)

Passo 1

A questão pede para calcular integral x^5raiz1+x^2,dx. O conteúdo principal é integração por substituição: vamos usar a substituição u=1+x^2, pois du=2x,dx. Precisamos também expressar x^5,dx em função de u e du.

Passo 2

Fazendo a substituição u=1+x^2, temos du=2x,dx, logo x,dx=tfrac12,du. Além disso, x^5=x^4cdot x=(x^2)^2cdot x=(u-1)^2,x. Assim
integral x^5raiz1+x^2,dx=integral (u-1)^2,raizu,x,dx=tfrac12integral (u-1)^2u^1/2,du=tfrac12integrall(u^5/2-2u^3/2+u^1/2r)du

Passo 3

Agora integramos termo a termo:
integral u^5/2du=27u^7/2,integral u^3/2du=25u^5/2,integral u^1/2du=23u^3/2

Passo 4

Logo
tfrac12l(tfrac27u^7/2-2cdottfrac25u^5/2+tfrac23u^3/2r)=17u^7/2-25u^5/2+13u^3/2+C

Passo 5

Voltando a x (onde u=1+x^2), obtemos a primitiva desejada.

Resposta

17(1+x^2)^7/2-25(1+x^2)^5/2+13(1+x^2)^3/2+C

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