Calcule as seguintes integrais:
4)

Passo 1

O enunciado pede para calcular integral ln(tan x)sin xcos x,dx. O conteúdo envolvido é integração por substituição, usando a ideia de reconhecer uma parte da integral como derivada de outra função.

Passo 2

Precisamos ver se a função ln(tan x) aparece de tal forma que sua derivada seja exatamente o fator 1/(sin xcos x). De fato,
ddxl(ln(tan x)r) =1tan xcdotsec^2 x =1sin xcos x

Passo 3

Isso mostra que d(ln(tan x)) = dxsin xcos x. Então basta fazer a substituição
$$\nu = \ln(\tan x),
\quad du = \frac{dx}{\sin x\cos x} nu = ln(tan x), du = dxsin xcos x\int \frac{\ln(\tan x)}{\sin x\cos x},dx = \int u,du.$$

Passo 4

Agora integramos integral u,du. Pelo poder de integração de polinômios,
integral u,du = u^22 + C

Passo 5

Por fim, voltamos à variável original substituindo u = ln(tan x).

Resposta

dfracln^2(tan x)2 + C

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