Calcule as seguintes integrais:
4)
4)
Passo 1
O enunciado pede para calcular
. O conteúdo envolvido é integração por substituição, usando a ideia de reconhecer uma parte da integral como derivada de outra função.
Passo 2
Precisamos ver se a função
aparece de tal forma que sua derivada seja exatamente o fator
. De fato,
Passo 3
Isso mostra que
. Então basta fazer a substituição
$$\nu = \ln(\tan x),
\quad du = \frac{dx}{\sin x\cos x}
\int \frac{\ln(\tan x)}{\sin x\cos x},dx = \int u,du.$$
Passo 4
Agora integramos
. Pelo poder de integração de polinômios,
Passo 5
Por fim, voltamos à variável original substituindo
.