Encontre os valores máximos e mínimos globais de f no intervalo dado:
f(t)=sen(t)+cos (t) no intervalo [0, pi / 3]

Passo 1

A questão pede os extremos globais da função f(t)=sin(t)+cos(t) no intervalo [0,pi/3]. O conteúdo envolvido é derivadas e análise de extremos em intervalo fechado. Vamos usar o fato de que em um intervalo fechado o máximo e mínimo ocorrem nos pontos críticos (onde f'(t)=0) ou nas extremidades.

Passo 2

Para encontrar os pontos críticos, calculamos a derivada de f. Como ddtsin(t)=cos(t) e ddtcos(t)=-sin(t), temos:
f'(t)=cos(t)-sin(t)

Passo 3

Agora resolvemos f'(t)=0, ou seja:
cos(t)-sin(t)=0 Isso implica
cos(t)=sin(t) Ou seja
tan(t)=1

Passo 4

No intervalo [0,pi/3], a única solução é
t=pi4

Passo 5

Devemos avaliar f(t) em t=0, t=pi/4 e t=pi/3. Calculamos:
f(0)=sin(0)+cos(0)=0+1=1
fl(pi4r)=sinl(pi4r)+cosl(pi4r)=raiz22+raiz22=raiz2
fl(pi3r)=sinl(pi3r)+cosl(pi3r)=raiz32+12=raiz3+12

Passo 6

Comparando numericamente: 1approx1, (raiz3+1)/2approx1,366 e raiz2approx1,414. Portanto o maior valor é raiz2 e o menor é 1.

Resposta

O máximo global ocorre em t=pi/4 e vale raiz2; o mínimo global ocorre em t=0 e vale 1.

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