Calcule as integrais indefinidas abaixo:
integral cos ^3 x(1+raizsen x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida integral cos^3xl(1+raizsin xr),dx. O conteúdo principal é integração por substituição em integrais envolvendo funções trigonométricas e raízes.

Passo 2

Vamos reescrever cos^3x como produto para usar sin x na substituição. Como cos^2x=1-sin^2x, temos:
cos^3x=cos^2xcdotcos x=(1-sin^2x)cos x

Passo 3

Fazendo a substituição u=sin x, então du=cos x,dx. A integral vira:
integral(1-sin^2x)l(1+raizsin xr)cos x,dx=integral(1-u^2)l(1+raizur),du

Passo 4

Expandindo o produto dentro da integral:
(1-u^2)(1+u^1/2)=1+u^1/2-u^2-u^5/2

Passo 5

Agora integramos termo a termo:
integral1,du=u, integral u^1/2,du=23u^3/2, integral(-u^2),du=-13u^3, integral(-u^5/2),du=-27u^7/2

Passo 6

Somando as primitivadas e adicionando a constante +C), obtemos:
u - 13u^3 + 23u^3/2 - 27u^7/2 + C

Passo 7

Voltando à variável original u=sin x, a solução final é obtida substituindo u por sin x.

Resposta

sin x - 13sin^3x + 23(sin x)^3/2 - 27(sin x)^7/2 + C

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