Considere o grupo multiplicativo
a) Mostre que
.
c)
que
.
c)
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e faz estas perguntas.
-
Dados:
- O grupo multiplicativo
é par},\[4pt] -1, & se
é ímpar. \end{cases}] -
é o subgrupo das permutações pares (o grupo alternante).
- O grupo multiplicativo
é par},\[4pt] -1, & se
-
Perguntas:
(a) Mostrar queé um homomorfismo de grupos (isto é, para todos ).
(b) Mostrar que.
(c) Concluir que.]
Passo 2
Entender o que significa “par” e “ímpar” e porque isso pode dar um mapa multiplicativo. Explicação didática e ferramenta principal que vou usar:
-
Qualquer permutação
pode ser escrita como produto de transposições (transposição = troca de dois elementos). Ex.: . O número de transposições numa decomposição não é único, mas a paridade desse número (par ou ímpar) é bem definida — isto é, qualquer outra decomposição em transposições terá número de fatores com a mesma paridade. Essa paridade é o que define “par” ou “ímpar”. -
Uma maneira limpa de ver que a paridade é bem definida usa matrizes de permutação e determinante:
- A cada
associa-se a matriz de permutação (matriz obtida permutando as linhas da matriz identidade conforme ). - Vale
. Além disso, (multiplicatividade do determinante). - Uma transposição corresponde a trocar duas linhas da identidade, o que altera o determinante por um fator
. Logo se é produto de transposições, . Isso mostra que é independente da decomposição (porque é um valor bem definido) e fornece uma forma canônica de associar .
- A cada
-
Assim podemos identificar
. Isso já sugere a multiplicatividade (homomorfismo), porque determinante é multiplicativo.
Vou usar essa ideia para mostrar que
é homomorfismo de forma simples e direta.
Passo 3
Provar que
é homomorfismo.
- Definição de homomorfismo: uma aplicação
é homomorfismo se para todos tiver - Usando a interpretação via matrizes de permutação e determinante: para todo
temos e como o determinante é multiplicativo, Portanto preserva produto e é um homomorfismo de grupos. - Comentário alternativo (mais elemental): se
é produto de transposições e produto de transposições, então pode ser escrita como produto de transposições. Assim a paridade do número de transposições soma (mod ), logo o sinal (que é se par e se ímpar) multiplica: . Essa explicação depende da bem-definição da paridade, que foi justificada acima via determinantes.
Passo 4
Caracterizar o núcleo e a imagem de
.
- Definição de núcleo:
. Pelas regras de , isto é exatamente o conjunto das permutações pares, ou seja Portanto é o núcleo do homomorfismo; como núcleo de um homomorfismo, é um subgrupo normal de . - Imagem:
. Existe claramente uma permutação ímpar (por exemplo qualquer transposição ) e então . Também existe a identidade que é par e . Assim a imagem contém e e portanto
Passo 5
Aplicar o Teorema do Isomorfismo (Primeiro Teorema do Isomorfismo).
- Enunciado prático do teorema: se
é um homomorfismo de grupos, então . - Aqui
, e . Logo, pelo teorema, Isso responde a parte (b). Também, como é núcleo, fica automaticamente que é normal em (o que é necessário para formar o quociente).
Passo 6
Concluir o tamanho de
.
- Conhecemos a ordem de
: . - Um fato simples de teoria de grupos: se
é subgrupo normal de e é finito, então . Aqui e . - Do Passo 5 sabemos
e . Portanto o índice , isto é, Usando obtemos
Resposta
(a)
é homomorfismo (pois
para todos
).
(b) .
(c) .
(b)
(c)