Considere o grupo multiplicativo G=\{1,-1\}\) e a função \(\varphi: S_{n} \rightarrow G\) dada por \[\varphi(\alpha)= \begin{cases}1, & \text { se } \alpha \text { é par, } \\\\ -1, & \text { se } \alpha \text { é impar. }\end{cases}
a) Mostre que \varphi\] é um homomorfismo. b) Mostre que \(S_{n} / A_{n} \cong G.
c) \operatorname{Conclua}^{6} que \left|A_{n}\right|=\frac{n!}{2}.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz estas perguntas.
  • Dados:
    • O grupo multiplicativo G=\{1,-1\}\) (produtos usuais entre \(1\) e \(-1\)). - O grupo simétrico \(S_{n}\) (permissões de \(n\) elementos). - A função \(\varphi: S_{n}\to G\) definida por \[\varphi(\alpha)= \begin{cases} 1, & \text{se \(\alpha é par},\[4pt] -1, & se \alpha é ímpar. \end{cases}]
    • A_{n} é o subgrupo das permutações pares (o grupo alternante).
  • Perguntas:
    (a) Mostrar que \varphi é um homomorfismo de grupos (isto é, \varphi(\alpha\beta)=\varphi(\alpha)\varphi(\beta) para todos \alpha,\beta\in S_n).
    (b) Mostrar que S_{n}/A_{n}\cong G.
    (c) Concluir que \left|A_{n}\right|=\dfrac{n!}{2}.]

Passo 2

Entender o que significa “par” e “ímpar” e porque isso pode dar um mapa multiplicativo. Explicação didática e ferramenta principal que vou usar:
  • Qualquer permutação \sigma\in S_n pode ser escrita como produto de transposições (transposição = troca de dois elementos). Ex.: \sigma=(1\\\ 3)(2\\\ 5)\cdots. O número de transposições numa decomposição não é único, mas a paridade desse número (par ou ímpar) é bem definida — isto é, qualquer outra decomposição em transposições terá número de fatores com a mesma paridade. Essa paridade é o que define “par” ou “ímpar”.
  • Uma maneira limpa de ver que a paridade é bem definida usa matrizes de permutação e determinante:
    • A cada \sigma\in S_n associa-se a matriz de permutação P_\sigma (matriz n\times n obtida permutando as linhas da matriz identidade conforme \sigma).
    • Vale \det(P_\sigma)=\pm1. Além disso, \det(P_{\sigma\tau})=\det(P_\sigma)\det(P_\tau) (multiplicatividade do determinante).
    • Uma transposição corresponde a trocar duas linhas da identidade, o que altera o determinante por um fator -1. Logo se \sigma é produto de r transposições, \det(P_\sigma)=(-1)^r. Isso mostra que (-1)^r é independente da decomposição (porque \det é um valor bem definido) e fornece uma forma canônica de associar \sigma\mapsto \pm1.
  • Assim podemos identificar \varphi(\sigma)=\det(P_\sigma). Isso já sugere a multiplicatividade (homomorfismo), porque determinante é multiplicativo.
Vou usar essa ideia para mostrar que \varphi é homomorfismo de forma simples e direta.

Passo 3

Provar que \varphi é homomorfismo.
  • Definição de homomorfismo: uma aplicação \varphi: S_n\to G é homomorfismo se para todos \alpha,\beta\in S_n tiver \varphi(\alpha\beta)=\varphi(\alpha)\varphi(\beta).
  • Usando a interpretação via matrizes de permutação e determinante: para todo \sigma\in S_n temos \varphi(\sigma)=\det(P_\sigma) e como o determinante é multiplicativo, \varphi(\alpha\beta)=\det(P_{\alpha\beta})=\det(P_\alpha P_\beta)=\det(P_\alpha)\det(P_\beta)=\varphi(\alpha)\varphi(\beta).Portanto \varphi preserva produto e é um homomorfismo de grupos.
  • Comentário alternativo (mais elemental): se \alpha é produto de r transposições e \beta produto de s transposições, então \alpha\beta pode ser escrita como produto de r+s transposições. Assim a paridade do número de transposições soma (mod 2), logo o sinal (que é 1 se par e -1 se ímpar) multiplica: \varphi(\alpha\beta)=(-1)^{r+s}=(-1)^r(-1)^s=\varphi(\alpha)\varphi(\beta). Essa explicação depende da bem-definição da paridade, que foi justificada acima via determinantes.

Passo 4

Caracterizar o núcleo e a imagem de \varphi.
  • Definição de núcleo: \ker\varphi=\{\sigma\in S_n:\varphi(\sigma)=1\}. Pelas regras de \varphi, isto é exatamente o conjunto das permutações pares, ou seja \ker\varphi = A_n.Portanto A_n é o núcleo do homomorfismo; como núcleo de um homomorfismo, A_n é um subgrupo normal de S_n.
  • Imagem: \operatorname{im}\varphi=\{\varphi(\sigma):\sigma\in S_n\}. Existe claramente uma permutação ímpar (por exemplo qualquer transposição (i\\ j)) e então \varphi((i\\ j))=-1. Também existe a identidade que é par e \varphi(\mathrm{id})=1. Assim a imagem contém 1 e -1 e portanto \operatorname{im}\varphi = G=\{1,-1\}.

Passo 5

Aplicar o Teorema do Isomorfismo (Primeiro Teorema do Isomorfismo).
  • Enunciado prático do teorema: se \varphi: H\to K é um homomorfismo de grupos, então H/\ker\varphi \cong \operatorname{im}\varphi.
  • Aqui H=S_n, \ker\varphi=A_n e \operatorname{im}\varphi = G. Logo, pelo teorema, S_n/A_n \cong G.Isso responde a parte (b). Também, como A_n é núcleo, fica automaticamente que A_n é normal em S_n (o que é necessário para formar o quociente).

Passo 6

Concluir o tamanho de A_n.
  • Conhecemos a ordem de S_n: |S_n|=n!.
  • Um fato simples de teoria de grupos: se H é subgrupo normal de G e G/H é finito, então |G/H|=[G:H]=|G|/|H|. Aqui G=S_n e H=A_n.
  • Do Passo 5 sabemos S_n/A_n\cong G e |G|=2. Portanto o índice [S_n:A_n]=2, isto é, \frac{|S_n|}{|A_n|}=2.Usando |S_n|=n! obtemos |A_n|=\frac{|S_n|}{2}=\frac{n!}{2}.

Resposta

(a) \varphi é homomorfismo (pois \varphi(\alpha\beta)=\varphi(\alpha)\varphi(\beta) para todos \alpha,\beta\in S_n).
(b) S_{n}/A_{n}\cong G.
(c) \left|A_{n}\right|=\dfrac{n!}{2}.

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