16- Considere em
o produto interno:
a) Verifique se realmente é um produto interno;
b) A partir da base canônica determine uma base ortonormal, considerando que a letra a) seja verdadeira.
b) A partir da base canônica determine uma base ortonormal, considerando que a letra a) seja verdadeira.
Passo 1
O enunciado pede para verificar que em
o produto dado por
satisfaz as propriedades de produto interno (bilinearidade, simetria e positiva-definição) e, assumindo isso válido, a partir da base canônica
encontrar uma base ortonormal para esse produto interno.
Passo 2
Para a bilinearidade e simetria, note que para quaisquer vetores
e escalares
:
-
. - Simetricamente
. - E claramente
pois a soma de produtos escalares é comutativa.
Passo 3
Para a positiva-definição, observe que para qualquer
:
E
só se
, logo é estritamente positiva para
.
Passo 4
Para construir uma base ortonormal podemos usar o processo de Gram-Schmidt sobre a base canônica
, mas como o produto interno é diagonal na canônica, temos já:
ou seja,
são mutuamente ortogonais.
Passo 5
Basta agora normalizar cada
. Calculamos as normas:
Logo a base ortonormal é
Resposta
A base ortonormal é
.