16- Considere em R^3 o produto interno:
lang<= u, vrang<==u1 v2+5 u2 v2+2 u3 v3
a) Verifique se realmente é um produto interno;
b) A partir da base canônica determine uma base ortonormal, considerando que a letra a) seja verdadeira.

Passo 1

O enunciado pede para verificar que em R^3 o produto dado por lang<= u,vrang<= = u1v1 + 5u2v2 + 2u3v3 satisfaz as propriedades de produto interno (bilinearidade, simetria e positiva-definição) e, assumindo isso válido, a partir da base canônica e1,e2,e3 encontrar uma base ortonormal para esse produto interno.

Passo 2

Para a bilinearidade e simetria, note que para quaisquer vetores u,v,w e escalares alpha,beta:
  • lang<= alpha u + beta v, wrang<= = (alpha u1 + beta v1)w1 + 5(alpha u2 + beta v2)w2 + 2(alpha u3 + beta v3)w3 = alphalang<= u,wrang<= + betalang<= v,wrang<=.
  • Simetricamente lang<= u,alpha v + beta wrang<= = alphalang<= u,vrang<= + betalang<= u,wrang<=.
  • E claramente lang<= u,vrang<= = lang<= v,urang<= pois a soma de produtos escalares é comutativa.

Passo 3

Para a positiva-definição, observe que para qualquer v=(v1,v2,v3):
lang<= v,vrang<= = v1^2 + 5v2^2 + 2v3^2 >= 0
E lang<= v,vrang<= = 0 só se v1=v2=v3=0, logo é estritamente positiva para vneq0.

Passo 4

Para construir uma base ortonormal podemos usar o processo de Gram-Schmidt sobre a base canônica e1,e2,e3, mas como o produto interno é diagonal na canônica, temos já:
lang<= ei,ejrang<= = 0 (ineq j),
ou seja, e1,e2,e3 são mutuamente ortogonais.

Passo 5

Basta agora normalizar cada ei. Calculamos as normas:
|e1| = raizlang<= e1,e1rang<= = 1, |e2| = raiz5, |e3| = raiz2
Logo a base ortonormal é
f1 = e1, f2 = e2raiz5, f3 = e3raiz2

Resposta

A base ortonormal é (1,0,0),,(0,1/raiz5,0),,(0,0,1/raiz2).

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