Prove que |u wed>= v|=|u| cdot|v| Leftrightarrow u cdot v=0.

Passo 1

O enunciado pede para provar a equivalência
|vec uwed>= vec v| = |vec u|;|vec v| ;Long<=ftrightarrow; vec ucdot vec v = 0,
onde vec u,vec vin R^3. O conteúdo aqui é a interpretação geométrica dos produtos escalar e vetorial em termos do ângulo theta entre vec u e vec v.

Passo 2

Seja thetain[0,pi] o ângulo entre vec u e vec v. Sabemos das fórmulas geométricas:
|vec uwed>= vec v| = |vec u|;|vec v|;l|sinthetar| e vec ucdot vec v = |vec u|;|vec v|;costheta

Passo 3

Suponha primeiro que
|vec uwed>= vec v| = |vec u|;|vec v|
Pela fórmula do produto vetorial isso dá
|vec u|;|vec v|;l|sinthetar| =|vec u|;|vec v|
Como |vec u|;|vec v|>=0, podemos dividir e obter l|sinthetar|=1. Logo sintheta=pm1, mas como thetain[0,pi] segue theta=tfracpi2. Então
costheta = cos!l(tfracpi2r)=0 Longrightarrow vec ucdot vec v = |vec u|;|vec v|;0 = 0

Passo 4

Agora suponha que vec ucdot vec v = 0. Pela fórmula do produto escalar isso é
|vec u|;|vec v|;costheta = 0
Se vec u e vec v não são nulos, então |vec u|;|vec v|>0 e daí costheta=0, isto é theta=tfracpi2. Então |sintheta|=1 e pela fórmula do vetorial
|vec uwed>= vec v| =|vec u|;|vec v|;l|sinthetar| =|vec u|;|vec v|;

Resposta

Foi demonstrado que
|vec uwed>= vec v| = |vec u|;|vec v| Long<=ftrightarrow vec ucdot vec v = 0

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