Prove que
.
Passo 1
O enunciado pede para provar a equivalência
onde
. O conteúdo aqui é a interpretação geométrica dos produtos escalar e vetorial em termos do ângulo
entre
e
.
Passo 2
Seja
o ângulo entre
e
. Sabemos das fórmulas geométricas:
Passo 3
Suponha primeiro que
Pela fórmula do produto vetorial isso dá
Como
|vec u|;|vec v|>=0 , podemos dividir e obter
l|sinthetar|=1 . Logo
sintheta=pm1 , mas como
thetain[0,pi] segue
theta=tfracpi2 . Então
Passo 4
Agora suponha que
vec ucdot vec v = 0 . Pela fórmula do produto escalar isso é
Se
vec u e
vec v não são nulos, então
|vec u|;|vec v|>0 e daí
costheta=0 , isto é
theta=tfracpi2 . Então
|sintheta|=1 e pela fórmula do vetorial
Resposta
Foi demonstrado que